(完整版)指数函数知识点总结.docxVIP

指数函数 （一）指数与指数幂的运算 1．根式的概念：一般地，如果 x n a ，那么 x 叫做 a 的 n 次方根，其中 n 1 n ∈ N * ． ，且 负数没有偶次方根； 0 的任何次方根都是 0，记作 n 0 0 。 当 n 是奇数时， n a n a ，当 n 是偶数时， n a n | a | a (a 0) a (a 0) 2．分数指数幂 正数的分数指数幂的意义，规定： m a nn a m (a 0, m, n N * ,n 1) m 1 1 a n (a 0, m, n * , n 1) m n am N a n 0 的正分数指数幂等于 0，0 的负分数指数幂没有意义 3．实数指数幂的运算性质 （1） a r · a r ar s (a 0, r, s R) ； （2） ( a r ) s ars (a 0,r , s R) ； （ 3） (ab)r a r as (a 0,r , s R) ． （二）指数函数及其性质 1、指数函数的概念：一般地，函数 y a x (a 0,且 a 1) 叫做指数函 数，其中 x 是自变量，函数的定义域为 R． 注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和 1． 2、指数函数的图象和性质 a1 0a1 定义域 R 定义域 R 值域 y＞ 0 值域 y＞0 在 R上单 在 R上单 调递增 调递减 非奇非偶 非奇非偶 函数 函数 函数图象 函数图象 都过定点 都过定点 （0，1） （ 0，1） 注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出： （ 1）在 [a ， b] 上， f (x) a x (a 0且 a 1) 值域是 [ f (a), f ( b)] 或 [ f ( b), f (a)] （2）若 x 0，则 f ( x ) 1 ； f (x) 取遍所有正数当且仅当 x R ； （3）对于指数函数 f (x ) a x (a 0且 a 1) ，总有 f (1) a ； 指数函数·例题解析 【例 1】求下列函数的定义域与值域： 1 (2)y ＝ 2 x 2 (3)y ＝ 3 3x 1 (1)y ＝ 32 x 1 解 (1) 定义域为 x∈R 且 x≠ 2．值域 y＞ 0 且 y≠ 1． 由 2x+2－ 1≥ 0，得定义域 {x|x ≥－ 2} ，值域为 y≥ 0． 由 3－ 3x-1 ≥ 0，得定义域是 {x|x ≤ 2} ，∵ 0≤ 3－ 3x － 1＜3， ∴值域是 0≤ y＜ 3． 1 ( 2)|x| ； （ 1） y 2 x 4 ； （ 2） y （ 3） y 4 x 2 x 1 1 ； 练习： 3 【例 2】指数函数 y＝ax， y＝ bx， y＝ cx， y＝ dx 的图像如图 2． 6－2 所示， 则 a、 b、 c、 d、 1 之间的大小关系是 [ ] A． a＜ b＜ 1＜ c＜ d B． a＜ b＜ 1＜ d＜ c C． b ＜ a＜1＜ d＜ c D． c＜ d＜ 1＜ a＜ b 解 选 (c) ，在 x 轴上任取一点 (x ， 0) ，则得 b＜ a＜1＜ d＜ c． 练习：指数函数① ② 满足不等式 , 则它们的图象是 ( ). 【例 3】比较大小： (1) 2、 3 2、5 4、8 8、 9 16的大小关系是： ． (2)0.6 4 3 1 5 ( ) 2 2 (3)4.5 4.1 ________3.7 3.6 1 1 2 3 4 解 (1)∵ 2 22，3 2 23，5 4 25，8 8 28，9 16 2 9 ， 函数 ＝ x ， 2 ＞ ，该函数在 ( －∞，＋∞ ) 上是增函数， y 2 1 又1＜3＜2＜4＜1，∴3 2 ＜ 8 ＜ 5 ＜ 9 ＜ 2 ． 3 8 5 9 2 8 4 16 4 1 解 (2)∵0.6 5 ＞1，1＞(3) 2， 2 1 0.6 5＞(3) 2． 2 解  (3) 借助数  4.5  3.6  打桥，利用指数函数的单调性，  4.5 4.1  ＞ 4.5 3.6  ，作函数  y1＝ 4.5 x， y2＝3.7 x 的图像如图 2． 6－ 3，取 x＝ 3.6 ，得 4.5 3.6 ＞ 3.7 3.6 4.5 4.1 ＞ 3.7 3.6 ． 说明 如何比较两个幂的大小：若不同底先化为同底的幂，再利用指数函数 的单调性进行比较，如例 2 中的 (1) ．若是两个不同底且指数也不同的幂比较大小 时，有两个技巧，其一借助 1 作桥梁，如例 2 中的 (2) ．其二构造一个新的幂作桥 梁，这个新的幂具有与 4.5 4.1 同底与 3.7 3.6 同指数的特点，即为 4.5 3.6 ( 或 3.7 4.1 ) ，如例 2 中的