有关辗转相除法和更相减损术的问题模板.pptVIP

二、更相减损术 《九章算术》是中国古代的数学专著，其中的“更相减损术”也可以用来求两个数的最大公约数，即“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也.以等数约之.” 意思是： 第一步：任意给定两个正整数，判断它们是否都是偶数. 若是，用2约简；若不是，执行第二步. 第二步：以较大的数减去较小的数，接着把差与较小的数比较，并以大数减小数.继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个等数或这个数与约简的数的乘积就是所求的最大公约数. 必威体育精装版.课件 * 例1：用更相减损术求98与63的最大公约数. 98-63=35， 14-7=7. 21-7=14， 28-7=21， 35-28=7， 63-35=28， 因为63不是偶数，所以 所以最大公约数是7. 必威体育精装版.课件 * 必威体育精装版.课件 2015 必威体育精装版.课件 * 必威体育精装版.课件 * 必威体育精装版.课件 * 必威体育精装版.课件 * 必威体育精装版.课件 * 必威体育精装版.课件 * 必威体育精装版.课件 * 必威体育精装版.课件 * 必威体育精装版.课件 * 必威体育精装版.课件 * 必威体育精装版.课件 * 必威体育精装版.课件 * 必威体育精装版.课件 * 必威体育精装版.课件 * 必威体育精装版.课件 * 必威体育精装版.课件 * 必威体育精装版.课件 * 有关辗转相除法和更相减损术的问题 必威体育精装版.课件 * 探究一,辗转相除法 思考1:在小学中我们是如何求出两个正整数的最大公约数的呢? 算法案例之求最大公约数 求以下几组正整数的最大公约数。 (注：若整数m和n满足n整除m，则（m,n）=n。用（m,n）来表示 m和n的最大公约数。) （1）（18，30） （2）（24，16） （3）（63，63） （4）（72，8） （5）（301，133 ） 解：2 1 8 2 4 用公有质因数2除， 3 9 1 2 用公有质因数3除， 3 4 3和4互质不除了。 得：18和24最大公约数是：2×3＝6 例、求18与24的最大公约数： 6； 8； 63； 8； 7； 短除法 想一想，如何求8251与6105的最大公约数？ 必威体育精装版.课件 * 思考2:对于8251与6105这两个数，它们的最大公约数是多少？你是怎样得到的？ 由于它们公有的质因数较大，利用上述方法求最大公约数就比较困难.有没有其它的方法可以较简单的找出它们的最大公约数呢？ 必威体育精装版.课件 * 思考3：注意到8251=6105×1+2146，那么8251与6105这两个数的公约数和6105与2146的公约数有什么关系？ 我们发现6105=2146×2+1813，同理，6105与2146的公约数和2146与1813的公约数相等. 思考4：重复上述操作，你能得到8251与6105这两个数的最大公约数吗？ 2146=1813×1+333， 148=37×4+0. 333=148×2+37， 1813=333×5+148， 8251=6105×1+2146， 6105=2146×2+1813， 定义:所谓的辗转相除法,就是对于给定的两个数, 用较大的数除以较小的数,若余数不为零,则将余数 和较小的数构成新的数对,继续上面的除法, 直到大数 被小数除尽,则这是较小的数就是原来两个数的最大公约数 必威体育精装版.课件 * 辗转相除法求两个数的最大公约数，其算法可以描述如下： 辗转相除法是一个反复执行直到余数等于0停止的步骤， 这实际上是一个循环结构 思考4：辗转相除直到何时结束？ 主要运用的是哪种算法结构？ 如此循环，直到得到结果。 ① 输入两个正整数m和n； ② 求余数r：计算m除以n，将所得余数存放到变量r中； ③更新被除数和余数：m=n，n=r。 ④判断余数r是否为0：若余数为0则输出结果，否则转 向第②步继续循环执行。 必威体育精装版.课件 * 第一步，给定两个正整数m，n(mn). 第二步，计算m除以n所得的余数r. 第三步，m=n，n=r. 第四步，若r=0，则m，n的最大公约数等于m；否则，返回第二步. 思考5:你能把辗转相除法编成一个计算机程序吗？ 必威体育精装版.课件 * 程序框图 开始 输入m，n 求m除以n的余数r m=n n=r r=0？ 是 输出m 结束 否 INPUT m，n DO r=m MOD n m=n n=r LOOP UNTIL r=0 PRINT m END 必威体育精装版.课件 * 思考6:如果用当型循环结构构造算法，则用辗转相除法求两个正整数m、n的最大公约数的程序框图和程序分别如何表示？ 必威体育精装版.课件 * 开始 输入m，n 求m除以n的