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高中数列知识大总结（绝对全完整版） 第六章 数列 、重难点击 本章重点：数列的概念，等差数列，等比数列的定义，通项公式和前 n项和公式及运用，等差数列、等 比数列的有关性质。注重提炼一些重要的思想和方法，如：观察法、累加法、累乘法、待定系数法、倒 序相加求和法、错位相减求和法、裂项相消求和法、函数与方程思想、分类与讨论思想、化归与转化思 想等。 知识网络 四、数列通项an与前n项和Sn的关系 1 - Sn ai 1 - Sn ai a2 a3 an ai i 1 Si Sn Sn 1 课前热身 3?数列an的通项公式为 an 2 3n 28n,则数列各项中最小项是（B ） A.第4项 B.第5项 C.第6项 D.第7项 1 1 1 1 4?已知数列an是递增数列，其通项公式为 an n2 n,则实数 的取值范围是（3,） 5?数列a 5?数列an的前n项和Sn n2 4n 1,，则 an 2 2n 5 题型一归纳、猜想法求数列通项 【例1】根据下列数列的前几项，分别写出它们的一个通项公式 1)⑴7 77, 777, 7777,… 1) (3)1, 3, 3, 5, 5, 7, 7, 9, 9… 解析：⑴将数列变形为 -(10 1), 7(102 1), 7(103 1), , -(10n 1) 9 9 9 9 ⑶将已知数列变为 1+0, 2+1, 3+0, 4+1, 5+0, 6+1 , 7+0, 8+1 , 9+0,…。可得数列的通项 公式为an 点拨：本例的求解关键是通过分析、比较、联想、归纳、转换获得项与项数的一般规律，从而求得 通项。 题型二应用an S （n °求数列通项 和 （n 2） 例2 ?已知数列 an的前n项和Sn，分别求其通项公式? ⑴ Sn 3n 2 解析：⑴当n 1时,a1 S1 31 2 1 , 当 n 2时且 Sn Sm (3n 2) (3n1 2) 3n 又a1 又a1 1不适合上式，故an 2 3n (n 1) (n 2) 三、利用递推关系求数列的通项 【例3】根据下列各个数列 an的首项和递推关系，求其通项公式 ⑴a1 1 2, an 1 an 解析: ⑴因为 an 1 an an 1 an 所以 a2 a3 a2 a4 a3 14n2 1 a1 乂 1) 1 7) 2(3 1(丄 2 5 an an 以上 (n an a1 即: an 点拨: a n 1 pan 1 4n2 1 1 4n2 2 (2n 1 1) 3 2 2n 3 1)个式相加得 1 1 2(1 2n 1亠 4n 2 在递推关系中若 一，所以 1 1 1 2n 1) -) 1 4n 3 4n 2 2n=) a an 1 an f(n),求用累加法，若亠■ an q，求an用待定系数法或迭代法。 f(n),求an用累乘法，若 课外练习 3设an 1 1 1 n 1 n 2 2n 1， A. an 1 a n B. an 1 an C a n 1 an D. 不能确定 解：因为  (n N )，则an 1与an的大小关系是(C ) an 1 an 1 1 1 2n 2 2n 3 n 1 1 1 0 2n 3 2n 2 所以an 1 an，选c. 、填空题 5?已知数列 an的前n项和Sn n2 4n 1则an 2 , (n 1)2n 5 , (n 2)7 ?已知数列an的通项n 98 ( 2 , (n 1) 2n 5 , (n 2) n 199 N )，则数列an的前 N )，则数列an的前30项中最大项和最小项分别是 解：构造函数y X 98 i 99J98 x U99 x 99 由函数性质可知，函数在 (  ，99)上递减，且y 1 函数在G 99,+ )上递增且y 1 又 99 (9,10) aio an ai2 a30 1 a a? ag aio大，a?最小 6.2等差数列 知识要点2 ?递推关系与通项公式a c 知识要点 2 ?递推关系与通项公式 项，且b ； a, b, c成等差数列是2b a c 2 的充要条件。 递推关系：an i an d 通项公式：an ai (n i)d 推广：an am (n m)d 变式：ai an (n i)d; 4 .前n项和公式 Sn (ai an)n Sn nai n(n i)d 2 an n an am a an kn m,( k,m为常数)是数列a“成 等差数列的充要条件。 特征：an dn (a d), 即：an f(n) kn m, (k, m为常数)  特征：Sn dn2 (ai —) n, 2 2即 Sn f(n) An2 Bn Sn An2 Bn (A,B为常数) 是数列an成等差数列的充要条件。 3 3.等差中项: 5?等差数列an的基本性质