高等数学(北大版)习题6.6.docxVIP

习题6.6 求函数f (x, y) = x2 — xy + y2在点P0 (2 + j2,1 + 2 J3)处沿极角为8的方向l的 方向导数.并问臼取何值时，对应的方向导数(1泌到最大值;(2)达到最小值; ⑶等丁 0. 解(1)f(x,y) =(2x — y, —x 2y),、f (2 .,3,1 2., 3) =(3,3、、3) =3(1,、、3). TOC \o 1-5 \h \z f _1 . 一3 . ，-:.、 - 6(—cos「——sin” =6(cos—cos^ sin — sin ” =6cos(—-”. .:l 2 2 3 3 3 5 二 11 5 二 11二 = —.(2尸=——.(3)u = 3 3 6 6 求函数f(x, y) =x3 -3x2y+3xy2 +2在点已(3,1於沿从已到P(6,5)方向的方向导数. 解f (x, y) = (3x2 - 6xy 3y2, -3x2 6xy), ▽f(3,1) = (12,-9)=3(4,-3) = 3右@,-W] 3 4 :f 一 4 3 i 3 4 闩6,5)*,1)*,45 5,- 恃 f,*3、.5 5,_ 5_其，「5 =°. 3求函数f (x, y) = ln(x + y)在点(12)沿抛物线y = 2x2在该点的切线方向的方向 导数. 1 4 一 1 1 解y =4x,切线斜率 k=4,方向 1= ±(力=,^=). Vf(x,y)=( ——,——), 、17 .17 x+y x+y \ f(12)=( 11)—= 1 4 = 5 (,)(3,3) 日-3.17 317 一3「17. 求函数u(x, y, z) =xy + yz + zx在点F0(2,1,3)沿着与各坐标轴构成等角的方向 的方向导数. 1 解设方向l与各坐标轴构成等角 a,3cos a =1,cosa =±-产. .3 u(x, y,z) =(y z,x z, x y), 、u(2,1,3) =(4,5,3). .:u 12 - = =4、、3. ■:1 . 3 求z = f (x, y) =x2 +2xy+ y2在点(1,2)处的梯度. 解f (x, y) = (2x 2y, 2x 2y) = 2(x y.x y), 、f (1,2) ==2(3,3) =6(1,1). 求z = f (x, y) =arctan y在点(x0, y0)的梯度，并求沿向量(x0,y0)的方向导数. x 解f (x, y) 解f (x, y)= y 2 x_ f(x0 f(x0,y0)= TOC \o 1-5 \h \z -2 ，-2 2- X0 +y° Xo +y° ) f Vo Xo Xo V。 (xo,yo) -/ 2 -：-2 —2 -4-=°. 1 Xo y。、X。 y。 Xo y。 X。 yo 7求函数z = f (x, y) =ln 2分别在点Ag,土[及点B l,：J处的两个梯度之间的 火角余弦. … - r i i、_ n i、 解 z =ln |y| -ln |x|.Vf(x,y)= -一，一 Sf \ =(-3,io), x y) 13 ioj 」1) ▽f i板=(—1,6). I 6 J ...,f i i ,f ii _(-3,1°：L(-1,6)—63 f 3io f 6 一 \io9\ 37 一、io9 37. 8.求函数f (x,y) =x(x-2y) +x2y2在点(i,i处沿方向(cos%cosP)的方向导数，并 求出最大的与最小的方向导数，它们各沿什么方向？ 解、、f(x,y) =(2x-2y 2xy2,-2x 2x2y)「f(i,i) = (2,o). 一(i,i)=2cos：. .:l 最大的与方向导数：2,最小的方向导数：-2，分别沿方向X轴方向和负X轴方向. 9证明函数f(x, y)=斗在椭圆周x2 +2y2 =i上任一点处沿椭圆周法方向的方向 X 导数等丁 o. 证f (x,y^ -2^^, -7 .椭圆周法方向 n(x,y)= 2x,4y . 2( 2(-2xy 32xy)=o. |n|x3 方向导数=上| _癸。+小4)]= |n| . x3 x2 尔一笑，是一杯饮了半盏的酒，沉香在喉，甜润在心。 我无所谓成功不成功，但我在乎我自己的成长；我无法掌握别人，但我可以掌握自己。 我唯一能把握的，是我会一直尽力走下去，不为了别人，为了给自己一个交代。 这个世界上有太多的事情是我们无法掌握的，你不知道谁明天会离开，你不知道意外和你等的人谁先到来。 最可怕的是因为怕失去而放弃拥有的权利。 我们都会遇到很多人，会告别很多人，会继续往前走，也许还会爱上那么几个人，弄丢那么几个人。 关键在于，谁愿意为你停下脚步？ 对于生命中每一个这样的人，一千一