实变函数第一章知识要点和复习自测题.doc

第一章知识要点与复习自测题 一、集合概念和基本运算的知识要点：仔细体会并熟练掌握集合的概念（注意元素与集合的两种关系，集合与集合间的关系，并注意它们的区别），集合的基本运算（并、交、差、余、直积和极限运算）以及运算律（注意体会元素不属于并集，交集，上极限集和下极限集的特点）。 复习自测： 1、据理说明下面的集合关系是否成立？若不成立，请进一步讨论它们成立的条件：设，是两个集合， （1），（2），（3）， （4），（5）， （6），． 2、证明下面的几个常用的集合分解： （1）若（）是一列集合，则 ．（并集的常用不交分解方法） 若（）是一列单调递增集合，则 ．（单调递增集列并集的不交分解方法） （2）设（）是一列集合，记 ，，，， 则 ，且（并集的递增分解方法）， ，且（并集的递减分解方法）， ，且（交集的递增分解）， ，且（交集的递减分解）． （3）设（）是一列单调递减集合，则 ．（单调递减集列中最大集的不交分解方法） （4）设（）是一列单调递减集合，则 ． 3、设（）是一列集合， （1）试写出，的并交运算表示； （2）利用（1）证明（单调集列的收敛定理）：若，则收敛，且；若，则收敛，且； （3）记，，据理说明：，（上极限集、下极限集与单调集列的关系）． 二、集类的知识要点：仔细体会环、代数、环，代数的含义（注意它们的区别），关注它们分别对集合的怎样的运算是封闭的，并了解它们之间的关系（关系如下图）： 环 环 代数 代数 了解由一个非空集类生成的环（记为），代数（记为），环（记为）， 代数（记为）的含义，并了解它们之间的关系（关系如下图）： 复习自测： 1、设， A ｛的有限子集全体｝，B ｛的至多可数子集全体｝，并规定空集是有限集， 据理说明： （1）A 是环，但不一定是代数，并讨论A 是代数的条件？ （2）B 是环，但不一定是代数，并讨论B 是代数的条件？ 2、设，A ｛的单点集全体｝，B ｛的至多可数子集全体｝，据理说明： （1）A 不是环； （2）｛的有限子集全体｝； ｛的有限子集全体｝｛的有限子集的余集全体｝； ｛的至多可数子集全体｝； ｛的至多可数子集全体｝｛的至多可数子集的余集全体｝． 三、集合对等的知识要点：仔细体会并熟练掌握映射的象集和原象集（也称逆象集）的性质；仔细体会并熟练掌握集合对等的判别方法【定义法（一一映射法）、对等的性质法、Bernstein定理法】；仔细体会并熟练掌握判断集合基数大小关系的方法【大小关系的定义法（即与子集对等法）、单射或满射法（也称映射法）、并集法】． 复习自测： 1、叙述（1）集合对等的定义；（2）对等的基本性质（自身性、对称性、传递性和集族的不交并集性）； （3）Bernstein定理． 2、利用恰当的方法证明： （1）设，是两个集合，若，则； 注意：，，用性质法． （2）设，，是三个集合，若，且，则． 注意：以及和，用Bernstein定理． 四、可数集和不可数集的知识要点：仔细体会并掌握至多可数集的定义及性质；熟练掌握判断可数集或至多可数集的若干方法【定义法、排元素法、与已知至多可数集对等法、至多可数集的性质法】；熟记并会证明一些常见具体的可数集和至多可数集【如：自然数集，整数集，偶数集，奇数集，有理数集，n维空间中的有理点集，整系数多项式全体，有理系数多项式全体，n维空间中互不相交的开区间（或开集）所成的集，区间上的单调函数的不连续点所成的集，n维空间中的点集的孤立点所成的集等等】． 掌握不可数集的定义和性质；熟记并证明一些常见的具有连续基数的集合【如：1维空间中的长度不为0的各种区间、非空开集、有内点的集；n维空间中的体积不为0的各种区间、非空开集、有内点的集；、、；n维空间中的开集全体、闭集全体；可数集的幂集等等】． 复习自测： 1、设（）为一列至多可数集，则 （1）是至多可数集，且当中至少有一个为可数集时，是可数集； （2）据理说明不一定是可数集． 注意：用说明．实际上，只要集列（）中，有无穷多个是二元素以上的集，都不是可数集． 2、证明：中互不相交的开集所成的集族一定是至多可数集；中的开集全体所成的集族为不可数集，其基数． 3、证明：区间上的单调函数的不连续点（也称间断点）所成的集必为至多可数集． 4、证明：的孤立点全体所成的集必为至多可数集． 5、证明：上的连续函数全体所成的集具有连续基数． 6、证明：，其中为可数基数，为连续基数（即可数集的幂集一定是具有连续基数的集）． 五、开集、闭集和Borel集的知识要点：掌握开集、闭集的定义与等价条件，并会用它们来判断一个点集是否开集和闭集；掌握开集、闭集的并交运算特征；掌握Lindelof至多可数覆盖定理及其简单应用【例如，证明中的非空