八个有趣模型——搞定空间几何体的外接球与内切球(教师版).docxVIP

八个有趣模型——搞定空间几 何体的外接球与内切球 ( 教师 版) 2 3 4 相同的外接球 . 3．终极利器 ：勾股定理、正定理及余弦定理（解三角 形求线段长度）； 三、内切球的有关知识与方法 1．若球与平面相切， 则切点与球心连线与切面垂直 .（与 直线切圆的结论有一致性） . 2．内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球 心到多面体各顶点的距离均相等 . （类比：与多边形 的内切圆） . 3．正多面体的内切球和外接球的球心重合 . 4．正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不一 定重合 . 5．基本方法： 1）构造三角形利用相似比和勾股定理； 2）体积分割是求内切球半径的通用做法 （等体积法）. 四、与台体相关的，此略 . 五、八大模型 第一讲 柱体背景的模型 类型一、墙角模型（三条棱两两垂直，不找球心的位置即可求出球半径） 5 P P P c c c A b C C C a b b A A a B a B B 图1-1 图1-2 图1-3 P c B b C a A 图 1-4 方法：找三条两两垂直的线段， 直接用公式 (2R)2 a2 b2 c2 ， 即 2Ra2 b2 c2 ，求出 R 例 1 （1）已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高 为 4 ，体积为 16，则这个球的表面积是（ C ） A． B． C ． D ． 16 20 24 32 解： V a2 h 16 ， a 2 ， 4R2 a2 a2 h2 4416 24， S 24 ，选 C； （2）若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为 3 ， 则其外接球的表面积是 9 解：4R2 3 3 3 9，S 4R2 9 ； 3）在正三棱锥 S ABC 中， M 、N 分别是棱且AM MN,若侧棱 SA 2 3,则正三棱锥SABC外接球的表面积  SC、 BC 的中点， S 是 . 36 A C 解：引理： 正三棱锥的对棱互相垂直 . D H E 证明如下：如图（ 3）-1 ， B (3) 题-1(引理） 6 取 AB,BC 的中点 D, E ，连接 AE,CD ， AE,CD 交于 H ，连接 SH ， 则 H 是底面正三角形 ABC 的中心， SH 平面 ABC ， SH AB ， AC BC， AD BD， CD AB， AB 平面 SCD ， AB SC ，同理： BC SA ， AC ，即正三 S SB 棱锥的对棱互垂直， M 本题图如图（3）-2 ， AM MN ，SB// MN ， SB， AC SB ， A C AM SB 平面 SAC ， N ， ， ， ， B SB SB SA (3)题-2（解答图） SASB SC SA BC SA 平面 SBC ， SA SC， 故三棱锥 S ABC 的三棱条侧棱两两互相垂直， (2R) 2 (2 3)2 (2 3)2 (2 3)2 36 ，即 4R2 36 ， 正三棱锥 S ABC 外接 球的表面积是 36 . （4）在四面体 S ABC 中， SA 平面 ABC ， BAC 120 , SA AC 2, AB 1, 则该四面体的外接球的表面积为（ D ） A.11 B.7 10 40 C . D. 3 3 解：在 ABC 中， BC 2 AC 2 AB2 2 AB BC cos120 7 ， BC 7 ， ABC的 外 接 球 直 径 为 2r BC 7 2 7 ， 3 3 sin BAC 2 (2R)2 ( 2r ) 2 SA2 ( 2 7 )2 4 40， S 40 ，选 D 3 3 3 5）如果三棱锥的三个侧面两两垂直， 它们的面积分别为 6 、 4 、 3，那么它的外接球的表面积是 7 解：由已知得三条侧棱两两垂直，设三条侧棱长分别为 a,b, c （ a,b, c R ），则 ab 12 bc 8 ， abc 24 ， a 3 ， b 4 ， c 2 ， (2R)2 a2 b2 c2 29 ， ac 6 S 4R2 29 ， 6）已知某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为 1 的等腰直角三角形和边长为 1的正方形，则该几何体外接球的体积为 解： ( 2R) 2 a 2 b 2 c 2 3 ， R 2 4 ， R 2 3 3 V球 4R3 4 33 3 ， 3 3 8 2  (6)题图 P A C B （ 6）题直观图 类型二、对棱相等模型（补形为长方体） 题设：三棱锥（即四面体） 中，已知三组对棱分别相等， 求外接球半径（ AB CD， AD BC， AC BD） 第一步：画出一个长方体， 标出三组 互 为异面直线的对棱； A x D y y c z z x C 8 a b B 图