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《管理运筹学》（第二版）课后习题参考答案 第 1 章 线性规划（复习思考题） 1．什么是线性规划？线性规划的三要素是什么？ 答：线性规划（ Linear Programming，LP）是运筹学中最成熟的一个分支，并且是 应用最广泛的一个运筹学分支。线性规划属于规划论中的静态规划，是一种重要的优化 工具，能够解决有限资源的最佳分配问题。 建立线性规划问题要具备三要素：决策变量、约束条件、目标函数。决策变量是决 策问题待定的量值，取值一般为非负；约束条件是指决策变量取值时受到的各种资源条 件的限制，保障决策方案的可行性；目标函数是决策者希望实现的目标，为决策变量的 线性函数表达式，有的目标要实现极大值，有的则要求极小值。 2．求解线性规划问题时可能出现几种结果，哪种结果说明建模时有错误？ 答：（1）唯一最优解：只有一个最优点； （2）多重最优解：无穷多个最优解； （3）无界解：可行域无界，目标值无限增大； （4）没有可行解：线性规划问题的可行域是空集。 当无界解和没有可行解时，可能是建模时有错。 3．什么是线性规划的标准型？松弛变量和剩余变量的管理含义是什么？ 答：线性规划的标准型是：目标函数极大化，约束条件为等式，右端常数项 bi 0 ， 决策变量满足非负性。 如果加入的这个非负变量取值为非零的话，则说明该约束限定没有约束力，对企业来说不是紧缺资源，所以称为松弛变量；剩余变量取值为非零的话，则说明“≥”型约束的左边取值大于右边规划值，出现剩余量。 4．试述线性规划问题的可行解、基础解、基可行解、最优解的概念及其相互关系。 答：可行解：满足约束条件 AX b，X 0 的解，称为可行解。 基可行解：满足非负性约束的基解，称为基可行解。 可行基：对应于基可行解的基，称为可行基。 最优解：使目标函数最优的可行解，称为最优解。 最优基：最优解对应的基矩阵，称为最优基。 它们的相互关系如右图所示： 5．用表格单纯形法求解如下线性规划。 max Z 4x1 x2 2x3 8x1 3x2 x3 2 . 6x1 x2 x3 8 x1 , x2 , x3 0 解：标准化 max Z 4x1 x2 2x3 8x1 3x2 x3 x4 2 . 6x1 x2 x3 x5 8 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 0 列出单纯形表 c j 4 1 2 0 0 i C B X B b x1 x2 x3 x4 x5 0 x4 2 [8] 3 1 1 0 2/8 0 8 6 1 1 0 1 8/6 j 4 1 2 0 0 4 x1 1/4 1 3/8 [1/8] 1/8 0 (1/4)/(1/8) 0 13/2 6 － 5/4 1/4 －3/4 1 (13/2)/(1/4) j 0 － 1/2 3/2 -1/2 0 2 x3 2 8 3 1 1 0 0 6 －2 －2 0 － 1 1 j －12 －5 0 － 2 0 故最优解为 X * (0,0,2,0,6)T ，即 x1 0, x2 0, x3 2 ，此时最优值为 Z ( X *) 4 ． 6．表 1— 15 中给出了求极大化问题的单纯形表，问表中 a1 , a2 ,c1 ,c2 , d 为何值及变 量属于哪一类型时有：（ 1）表中解为唯一最优解；（2）表中解为无穷多最优解之一；（3） 下一步迭代将以 x1 代替基变量 x5 ；（ 4）该线性规划问题具有无界解； （5）该线性规划问 题无可行解。 表 1—15 某极大化问题的单纯形表 cj c1 c2 0 0 0 i C B X B b x1 x2 x3 x4 x5 0 x3 d 4 a1 1 0 0 0 x4 2 － 1 －5 0 1 0 0 x5 3 a2 －3 0 0 1 j c1 c2 0 0 0 解：（1） d 0, c1 0, c2 0 ； （2） d 0, c1 0, c2 0（ c1 , c2中至少有一个为零） ； （3） c1 0, a2 0, d 3 ； 4 a2 （4） c2 0, a1 0 ； （5） x1 为人工变量，且 c1 为包含 M的大于零的数， d 3 ；或者 x2 为人工变量， 4 a2 且 c2 为包含 M的大于零的数， a1 0, d 0 ． 7．用大 M法求解如下线性规划。 max Z 5x1 3x2 6x3 .  x1 2x2 x3 18 2x1 x2 3x3 16 x1 x2 x3 10 x1, x2 , x3 0 解：加入人工变量，进行人造基后的数学模型如下： max Z 5x1 3x2 6x3 0x4 0x5 Mx 6 x1 2x 2 x3 x4 18 2x1 x2 3x3 x5 16 . x2 x3 x6 10 x1 xi 0 (i