计算方法课件 7.2 复化求积公式.pptVIP

本节内容提要 复化求积公式 复化梯形公式、复化Simpson 公式、复化Cotes公式 复化求积公式的阶 区间逐次二分法 Romberg积分 　　　　 §7.2 复化求积公式 由误差估计公式可知区间过大，误差亦大；为避免可选取适当多的节点，即选取相对高阶的Newton-cotes公式，但由稳定性分析又知：当 时，会出现不稳定的现象。 问题的提出 复化积分的思想： 把一个大的积分区间[a,b]分成若干小区间，在每个小区间上用次数不高的插值公式，如梯形公式和辛普生公式。构造出相应的积分公式，然后再把它们加起来得到整个区间上的求积公式。为了方便计算，通常把大区间等分成若干小区间。 一、复化梯形公式 1、公式： 2、误差： 定步长复化梯形求积公式算法 二、复化Simpson公式 1、公式： 2、误差： 定步长复化Simpson求积公式算法 三、复化Cotes公式 1、公式： 2、误差： 例： ——误差事先估计 解： 四、复化求积公式的阶 1、定义： 2、常用复化公式的阶： 证明：① ③ ② 3、收敛阶的作用： ——误差事后估计 由复化求积公式的截断误差可知，加密节点可以提高 求积公式的精度，但困难在于：使用公式之前需给出合适 的步长，h过大，满足不了精度；h过小，计算量过大，因 而实用的方法是采用区间逐次二分，反复利用求积公式计 算，直至二分前后两次积分值的差满足精度为止。 五、区间逐次二分法 例： 解： 六、Romberg积分 ——利用低阶复化求积公式的线性组合来构造高阶 外推法 注：Romberg求积公式具有7次代数精度，收敛阶为8阶； 这种将粗糙的复化梯形公式逐步加工成精度较高的求积 公式的方法称为 —— Romberg方法； 注： 二分前的步长 例： 解： Romberg求积算法 * *