计算方法课件 6.1 最小二乘拟合.pptVIP

本节内容提要 数据拟合 最小二乘原理 函数系关于点的无关性、拟合函数、 点集函数的内积、正规方程组 　　　 超定方程组的最小二乘解 6.1 最小二乘拟合 一、数据拟合 插值法： 由于节点处的函数值往往是实验或观测而来，带有误差， 因而由插值条件构造的近似函数可能带有较大的误差。 最小二乘拟合问题： 具体： 如： 构造逼近函数的新方法，希望逼近函数与实际函数 之间，从总体上来说其偏差按某种方法度量能达到最小。 ——称为数据 的最小二乘拟合问题 例： ① 二元函数极值问题 正规方程组 ——称为拟合函数或经验公式 ② —称为拟合函数或经验公式 例：某企业前七年的利润如下： 解： 注：拟合函数不一定为多项式； 二、最小二乘原理 1、函数系的无关性 例： 线性无关 2、拟合函数 ——拟合函数或经验公式 特别， ——称为 次最小二乘拟合多项式 3、点集函数的内积 （1）定义： ——称为点集函数 的内积 （2）性质： ① ② ③ ——非负性 ——线性性 ——对称性 4、正规方程组 驻点方程组 ——正规方程组 性质： ① 正规方程组的系数矩阵是对称正定矩阵； ② 若向量组 线性无关，则正规方程组 存在唯一解： ③ 正规方程组的解使 取得 最小值； 例： ——与前一致！ 特例 注：某些非线性最小二乘拟合问题可作线性化变换； 例： 解： 三、超定方程组的最小二乘解 1、超定方程组： 即方程个数大于未知变量的个数，一般无解； 当系数矩阵是列满秩时，存在最小二乘解； 2、最小二乘解： ——驻点方程组 例：用最小二乘法求下列超定方程组的近似解： 解： * *