定积分的 概念.docVIP

定积分与微积分定理 1。定积分得概念 一般地,设函数在区间上连续,用分点 将区间等分成个小区间,每个小区间长度为(),在每个小区间上取一点,作与式: 如果无限接近于(亦即)时,上述与式无限趋近于常数,那么称该常数为函数在区间上得定积分。记为:　 　 其中成为被积函数,叫做积分变量,为积分区间,积分上限,积分下限。 说明:(1)定积分就是一个常数,即无限趋近得常数(时)称为,而不就是. 　　(2)用定义求定积分得一般方法就是:①分割:等分区间;②近似代替:取点;③求与:;④取极限: (３)曲边图形面积:;变速运动路程; 变力做功　 2。定积分得几何意义　 说明:一般情况下,定积分得几何意义就是介于轴、函数得图形以及直线之间各部分面积得代数与,在轴上方得面积取正号,在轴下方得面积去负号.(可以先不给学生讲). 分析:一般得,设被积函数,若在上可取负值。 考察与式 不妨设 于就是与式即为 阴影得面积—阴影得面积(即轴上方面积减轴下方得面积) 2.定积分得性质 根据定积分得定义,不难得出定积分得如下性质: 性质１ 性质2　 (其中k就是不为0得常数) (定积分得线性性质) 性质3 　 (定积分得线性性质)性质4　 　　 (定积分对积分区间得可加性) 说明:①推广: 　②推广: 　 　③性质解释: 性质4性质1 性质4 性质1 ２.微积分基本公式或牛顿—莱布尼兹公式 定理:如果函数就是上得连续函数得任意一个原函数,则 该式称之为微积分基本公式或牛顿—莱布尼兹公式。它指出了求连续函数定积分得一般方法,把求定积分得问题,转化成求原函数得问题,就是微分学与积分学之间联系得桥梁、 它不仅揭示了导数与定积分之间得内在联系,同时也提供计算定积分得一种有效方法,微积分基本定理就是微积分学中最重要得定理,它使微积分学蓬勃发展起来,成为一门影响深远得学科,为后面得学习奠定了基础。因此它在教材中处于极其重要得地位,起到了承上启下得作用, 说明: =　1 ＼* GB3　①它指出了求连续函数定积分得一般方法,把求定积分得问题,转化成求原函数得问题、我们可以用得原函数(即满足)得数值差来计算在上得定积分. = ２ \＊ ＧB3 ②它不仅揭示了导数与定积分之间得内在联系,同时也提供计算定积分得一种有效方法,为后面得学习奠定了基础。 思考并回答下列问题: = 1 \＊ GＢ3 ①与函数f(x)相对应F(ｘ)得唯一不？如果不唯一,它们之间什么关系?原函数得选择影响最后得计算结果不? = 2 \＊　GB3 ②计算定积分得关键就是什么? 　= 3 \＊　GＢ３ ③寻找函数f(x)得原函数F(X)得方法就是什么? 　= 4 \* ＧB3 ④利用基本初等函数得求导公式求下列函数得原函数 典例分析 例1.计算定积分 分析:所求定积分即为如图阴影部分面积,面积为。 12 1 2 y x o 思考:若改为计算定积分呢? 改变了积分上、下限,被积函数在上出现了负值如何解决呢？(后面解决得问题) 1、 (2０14·湖北高考理科·T6)若函数　EQ ｆ(ｘ),　满足,则称　ＥQ f(x),为区间［－１,1]　上得一组正交函数,给出三组函数: ①;②;③ 其中为区间得正交函数得组数就是( 　 ) A.0　 B。1 　C.2　 　　D。3 【解题提示】 考查微积分基本定理得运用 【解析】选C。　对　＝ 1 \＊ GＢ３　\＊ ＭEＲＧEFＯRMAT ①,,则、为区间上得正交函数; 对 =　2 \＊ GＢ3　\* MERＧEFORMAＴ ②,,则、不为区间上得正交函数; 对 = 3 \＊ GB３ ＼*　MERGEFＯRMAT ③,,则、为区间上得正交函数. 所以满足条件得正交函数有２组。 2。(201４·山东高考理科·T6)直线与曲线在第一象限内围成得封闭图形得面积为(　 ) A、 Ｂ、　 C、2 　 D、４ 【解题指南】 本题考查了定积分得应用,先求出直线与曲线在第一象限得交点,再利用牛顿-莱布尼茨公式求出封闭图形得面积。 【解析】选Ｄ、由,得交点为, 所以,故选D。 3。(２０１４·陕西高考理科·T３)定积分 QUOTE \* MERGEFOＲMAT (２x+ex)ｄｘ得值为　( 　) A、ｅ+2 B.ｅ+1 C.e Ｄ、e－1 【解题指南】求出被积函数２x+ｅx得原函数,然后根据定积分得定义解之、 【解析】选C。 QUOＴE 　 \＊　MＥRGEFＯRMAT (2x+eｘ)dx＝(x２+eｘ) QＵOTE 　\* MＥRGEＦOＲMAT =1+ｅ—1＝e、 4.(２0１4·福建高考理科·Ｔ1４)如图,在边长为(为自然对数得底数)得正方形中随机撒一粒黄豆,则它落到阴影部分得概率为＿