中考数学培优易错试卷(含解析)之圆与相似附详细答案.pdf

中考数学培优易错试卷(含解析)之圆与相似附详细答案 一、相似 1．如图，正方形ABCD 、等腰Rt△BPQ 的顶点P 在对角线AC 上（点P 与A 、C 不重合）， QP 与BC 交于E，QP 延长线与AD 交于点F，连接CQ． 2 （1）①求证：AP=CQ ；②求证：PA =AF•AD； （2 ）若AP ：PC=1：3，求tan∠CBQ ． 【答案 】 （1 ）证 明：①∵ 四边形 ABCD 是正方形，∴AB=CB ，∠ABC=90° ， ∴∠ABP+∠ PBC=90°， ∵△ BPQ 是等腰直角三角形，∴BP=BQ，∠ PBQ=90°，∴∠ PBC+∠CBQ=90° ∴∠ABP=∠CBQ，∴△ABP≌ △ CBQ，∴AP=CQ; ②∵ 四边形ABCD 是正方形，∴∠ DAC=∠ BAC=∠ACB=45°， ∵∠ PQB=45°，∠CEP=∠QEB，∴∠CBQ=∠CPQ， 由①得△ABP≌ △ CBQ，∠ABP=∠CBQ ∵∠CPQ=∠APF ，∴∠APF=∠ABP ，∴△APF ∽△ABP ， (本题也可以连接PD，证△APF ∽△ADP) （2 ）证明：由①得△ABP≌ △ CBQ，∴∠BCQ=∠ BAC=45°， ∵∠ACB=45°,∴∠ PCQ=45°+45°=90° ∴tan∠CPQ= , 由①得AP=CQ, 又AP:PC=1:3 ，∴tan∠CPQ= ， 由②得∠CBQ=∠CPQ， ∴tan∠CBQ=tan∠CPQ= . 【解析】 【分析】 （1 ）① 利用正方形的性质和等腰直角三角形的性质易证 △ABP≌ △ CBQ ，可得 AP=CQ ；② 利用正方形的性质可证得∠CBQ=∠CPQ ，再由 △ABP≌ △ CBQ 可证得∠APF=∠ABP ，从而证出△APF ∽△ABP ，由相似三角形的性质得证； （2 ）由△ABP≌ △ CBQ 可得∠BCQ=∠ BAC=45°，可得∠ PCQ=45°+45°=90°，再由三角函数可 得 tan∠CPQ= ，由 AP:PC=1:3 ，AP=CQ，可得 tan∠CPQ= ，再由∠CBQ=∠CPQ 可求出答 案. 2 ．如图 1，过等边三角形ABC 边 AB 上一点 D 作 交边AC 于点 E，分别取BC，DE 的中点M，N，连接MN． （1）发现：在图1 中， ________ ； （2 ）应用：如图2，将 绕点A 旋转，请求出 的值； （3 ）拓展：如图 3， 和 是等腰三角形，且 ，M，N 分别 是底边BC，DE 的中点，若 ，请直接写出 的值． 【答案】（1） （2 ）解：如图2 中，连接AM 、AN ， ， 都是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∽ ， （3）解：如图3 中，连接AM、AN，延长AD交CE于H，交AC于O， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∽ ， ， ， ， ，