(完整word版)全国数学联赛金牌教练高中中奥数辅导：集合概念及集合上的运算.docVIP

全国高中数学联赛 金牌教练员讲座 兰州一中数学组 第一讲 集合概念及集合上的运算 知识、方法、技能 高中一年级数学（上） （试验本）课本中给出了集合的概念；一般地，符合某种条件（或 具有某种性质）的对象集中在一起就成为一个集合 . 在此基础上，介绍了集合的元素的确定性、互异性、无序性 .深入地逐步给出了有限集、 无限集，集合的列举法、描述法和子集、真子集、空集、非空集合、全集、补集、并集等十 余个新名词或概念以及二十几个新符号 .由此形成了在集合上的运算问题， 形成了以集合为背 景的题目和用集合表示空间的线面及其关系，表面平面轨迹及其关系，表示充要条件，描述 排列组合，用集合的性质进行组合计数等综合型题目 . 赛题精讲 Ⅰ．集合中待定元素的确定 充分利用集合中元素的性质和集合之间的基本关系，往往能解决某些以集合为背景的高中数学竞赛题 .请看下述几例 . 例 1：求点集 3 1 3 1 ) lg lg } 中元素的个数 . y x y {( x, y) | lg( x 3 9 【思路分析】应首先去对数将之化为代数方程来解之. 【略解】由所设知 x 0, y 0, 及x3 1 y 3 1 xy, 3 9 由平均值不等式，有 x 31 y3 1 33 ( x3 ) ( 1 y3 ) ( 1) xy, 3 9 3 9 当且仅当 x 3 1 y 3 1 3 1 , y 3 1 （虚根舍去）时，等号成立 . 3 ,即 x 9 3 9 故所给点集仅有一个元素 . 【评述】此题解方程中，应用了不等式取等号的充要条件，是一种重要解题方法，应注意掌握之 . 例 2：已知 A { y | y x 2 4x 3, x R }, B { y | y x 2 2x 2, x R }.求 A B. 【思路分析】先进一步确定集合 A、B. 1 / 7 【略解】 y (x 2) 2 1 1, 又 y (x 1) 2 3 3. ∴ A= { y | y 1}, B { y | y 3}, 故A B { y | 1 y 3}. 【评述】此题应避免如下错误解法： 联立方程组 y x 2 4x 3, 消去 y,2x 2 2x 1 0. 因方程无实根，故 A B. y x2 2x 2. 这里的错因是将 A 、B 的元素误解为平面上的点了 .这两条抛物线没有交点是实数 .但这不是抛 物线的值域 . 例 3：已知集合 A {( x, y) || x | | y | a, a 0}, B {( x, y) || xy | 1 | x | | y |}. 若 A B 是平面上正八边形的顶点所构成的集合，则 a 的值为 . 【思路分析】可作图，以数形结合法来解之. 【略解】 点集 A 是顶点为 （ a，0），（ 0，a），（－ a，0），（ 0，－a）的正方形的四条边构成 （如 图Ⅰ－ 1－ 1－ 1） . 将 | xy | 1 | x | | y |，变形为 (| x | 1)(| y | 1) 0, 所以，集合 B 是由四条直线 x 1, y 1构成 . 欲使 A B 为正八边形的顶点所构成，只有 a 2或1 a 2 这两种情况 . （ 1）当 a 2 时，由于正八形的边长只能为 2，显然有 2a 2 2 2, 故 a 2 2 . （2）当 1 a 2 时，设正八形边长为 l ，则 l cos45 2 2 l ,l 22 2, 这时， a 1 l 2. 2 综上所述， a 的值为 2 2或 2, 如图Ⅰ－ 1－ 1－ 1 中 A( 2,0), B( 2 2,0). 图Ⅰ－ 1－ 1－ 1 【评述】上述两题均为 1987 年全国高中联赛试题，题目并不难，读者应从解题过程中体会此类题目的解法 . Ⅱ．集合之间的基本关系 充分应用集合之间的基本关系（即子、交、并、补） ，往往能形成一些颇具技巧的集合综合题 .请看下述几例 . 2 / 7 例 4：设集合 A { n | n Z}, B { n | n Z}, C { n 1 | n Z}, D { n 1 | n Z}, 则 2 2 3 6 在下列关系中，成立的是 （ ） A．ABCD B．A B , C D C． A B C,C D D． A B B, C D 【思路分析】应注意数的特征，即 n 1 2n 1, n 1 2n 1, n Z. 2 2 3 6 6 【解法 1】∵ A { n | n Z}, B { n | n Z}, C { n 1 | n Z}, D { n 1 | n Z }, 2 2 3 6 ∴ A B C,C D .故应选 C. 【解法 2】如果把 A 、 B 、C、 D 与角的集合相对应，令 A { n | n Z}, B {