向量组的秩与极大无关组.docxVIP

§3二3 向量组的秩 本节讨论几个向量组之间的线性关系，并由 、 此引岀向量组的极大无关组与向量组的秩的概 鼻 念,进而讨论向量组的秩与矩阵的秩的关系. 例:向量组(A)：Q]= (1,2,3)耳=(2,4,6), § 巾=(3,6,9),其中线性无关的向量只有1个，电 例如久我们称e为向量纽⑷的?个极人司 无关组，并称向量组(A)的秩为1. J 如果向量组(A)有-个部分组即勺,…,a,满足: ⑴^，勺,…,匕线性无关； (2) Pa g (A),均有知如…,“q线性相关, 或a均可由少耳，…,％线性表示，则称 %色,…0为(A)的-个极大(最大)无关组 ?(A)的极大无关组必与(A)等价:最本质的fl | ? 向量组的极大无关组不是唯一的. 同一向最组的两个极大无关组间是尊价的 问匹:如果(\)的极人无关组不唯二，问其任意 I两个极大无关组所含向量个数是否唯一？ 定理5设有两个向量组： (4)：4］,冬，…川 (B):久％…仇; 且(B)可由(A)线性表示，则 当尸$时,(3)线性相关; 当CB)线性无关时今必有r5s. (证明从略) 推论1 任意n+l个n维向量组必线性相关定义9注二推论2「两个等价的线性无关组所含向量个数相同. 推论1 任意n+l个n维向量组必线性相关 定义9 注二 性质11 向量纽⑷,务…,a,”线性无关o g S，…，％”)二 向纟I ［终,a“…,a,”线半匸相关o 心,a?,aM) 性质目向量纟ILd], Qy…％可由向量勿0代,…,0 _线性衣小,则「(0J (A?02?0J 推论等价向量组必有相同的秩性质3若厂(a〕s，…心“)匚则该I诃看纠?屮任意厂勺 ?性无关向任就是它的?个极人线性无关组 推论等价向量组必有相同的秩 例 设a〕?线性无关，试求向量组％ =內+函， 02 =%_。2 的秩. 解:由已矩久伙可由es线性农示， 乂因 Qi 弓01+扌0202=#1-扌02 故两向量组等价,= 厂(件,0 J = r(e s) = 2. 例9 设有两个向量纽: 例9 设有两个向量纽: (I)：Q〔二 ■? ■ 1 2 a = ■ ■ ■ 3 0 — 9~ 6 一3 1 一： 1 0 a b (11)：0 = 1 “2 = 2 03 = 1 ■ -1 1 0 如果⑴、(II)有相同的秩，且03可由⑴线性 表示，试求常数Q、删值. 解:⑴由J ttj与他线性无关》= 3?! + 2a2, n q与么2为⑴的极大无关纽 n(I)的秩为2. 或llla/Ja.线性无兀而偽，函心线性相关* 由行列式*|叫= 1 3 9 10 0 30 2 0 6 = 2 0 6 -3 1 -7 -3 1 -7 =0 0 a b 0 a b n|0i Pi A| = 1 2 1 = 0 3 1 -110 -1 I ° 即 M H/) = 2 (2)由条件矢I lr( 〃)=八/) = 2 n (〃)线性相关 =一(“ -3b) = 0 又由岛可由⑴线性表示 =“冋宙(1)的极大无关刃肉线性表示 异、线性相关 I 9 =彳亍列式| % | -3 =0 =/? = 5=a = i5 F面讨论向量组的秩与矩阵的秩的关系.矩阵A F面讨论向量组的秩与矩阵的秩的关系. 矩阵A的行例)向量组的秩称为?啲彳亍例)秩. 定理6厂⑷=A的行秩=人的列秩, 具有相同的线性相关性. (证明从略) 命题⑴若矩阵A经有限次初等行变换化为他阵 B,贝山的任，歆个列向量铀中相应的点个列向量 (2)若矩阵A经有限次初等列变换化为範阵E 则A的任意*个行向量与〃中相应的｛个行向量具 有相同的线性相关性 例10求下列向最组的秩:血=(1,2,3,4) a2=(2,3.4”)丁, a 产(3,7,—L 0)7 a4 = (0J, 10)r. 解:所求秩等丁?下列矩阵A的秩： 「1 2 3 (f1 2 3 0_2 3 7 10 -1 1 13 4-120 -2 -1() 24 8 0 00 0 -12 0=-?_1 2 3 0_0-111 「1 2 3 (f 1 2 3 0_ 2 3 7 1 0 -1 1 1 3 4-12 0 -2 -1() 2 4 8 0 0 0 0 -12 0 = -? _1 2 3 0_ 0-111 0 0 -12 0 0 0 -12 0 - I 2 3 O 0 -I 1 1 ()0 1() 0 0 0 0 n所求秩为3. 例3.11:求F列向量组的-个极大无关组及向量组的秩 a, =(IJ,2,2,l)r,a: =(O,2J,5.-l)\a3 =(2,O,X-L3)7, a4=(Kt(),4,-l)r. 解:4 = [r, 2000010000)02 -I000因为01 a2 a」]- 2 0 0 0 0