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双曲线的几何性质(一) 教学目标 1.掌握双曲线的几何性质 2?能通过双曲线的标准方程确定双曲线的顶点、实虚半轴、焦点、离 心率、渐近线方程? 教学重点 双曲线的几何性质 教学难点 双曲线的渐近线 教学过程 复习回顾： 双曲线的标准方程、研究椭圆的几何性质的方法与步骤 讲授新课： 1?范围: 双曲线在不等式xa与x- a所表示的区域内. 2对称性： 双曲线关于每个坐标轴和原点都对称, 这时，坐标轴是双曲线的对称轴，原点是 双曲线的对称中心，双曲线的对称中心叫 双曲线的中心。 3.顶点: 双曲线和它的对称轴有两个交点 Ai(— a,0)、A2(a,0),它们叫做双曲线 的顶点. 线段AiA2叫双曲线的实轴,它的长等于2a,a叫做双曲线的实半轴长; 线段B1B2叫双曲线的虚轴，它的长等于2b,b叫做双曲线的虚半轴长 4.渐近线 我们把两条直线y= ± -x叫做双曲线的渐近线; a 2 2 从图可以看出，双曲线 笃 爲 1的各支向 a b 外延伸时，与直线y= ± - x逐渐接近. a “渐近”的证明：略 等轴双曲线： 实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线. 利用双曲线的渐近线，可以帮助我们较准确地画出双曲线的草图 .具体 做法是：画出双曲线的渐近线，先确定双曲线顶点及第一象限内任意一点 的位置，然后过这两点并根据双曲线在第一象限内从渐近线的下方逐渐接 近渐近线的特点画出双曲线的一部分，最后利用双曲线的对称性画出完整 的双曲线. 2 2 注意：⑴求渐近线方程的简便方法：令方程左边等于零即 务 / 0 a b ⑵等轴双曲线一般可设为x2 y2 k 等轴双曲线的性质：①离心率为 2 等轴双曲线的相伴矩形是正方形 渐近线方程为y=±x且互相垂直 两条渐近线平分双曲线实轴和虚轴所成的角 5.离心率: 双曲线的焦距与实轴长的比e=c，叫双曲线的离心率. a 注意：①由ca0可得e1 ； ②双曲线的离心率越大，它的开口越阔. 例1求双曲线9『—16x2=144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心 率、渐近线方程? 解：把方程化为标准方程? 42 42 32 由此可知，实半轴长a=4，虚半轴长b=3. c . a2 b2 . 42 32 5. 焦点的坐标是(0，— 5)，(0，5) 离心率e C 5 a 4 渐近线方程为 x 3 y，即 y 4 III.课堂练习： 写出第二种形式的标准方程所对应的双曲线性质 课本P113练习 1 课堂小结 通过本节学习，要求大家熟悉并掌握双曲线的几何性质， 尤其是双曲 线的渐近线方程及其“渐近”性质的证明， 并能简单应用双曲线的几何性 质? 课后作业 P113—114 习题 8.4 1、4、5、6