华中科技大的学 理论力学习题的答案.pptVIP

理论力学 第十 第十章动量矩定理 §10-1质点的动量矩定理 §102质点系的动量矩定理 §10-3定轴转动刚体的动力学 s104质点系的相对运动动量矩定理 §105刚体平面运动动力学 习题课 动量定理或质心运动定理:质点系随质心平动的问题。 如绕质心轴定轴转动刚体,=0,则其动量恒等于零, 质心无运动,可是刚体确受外力的作用而运动。 动量矩定理建立了质点和质点系相对于某固定点(固定轴) 的动量矩的改变与外力对同一点(轴)之矩两者之间的关系。 §10-1质点的动量矩定理 质点的动量矩 质点对点O的动量矩:m0(mV)=F×m矢量 质点对轴z的动量矩:m2(m)=m(m)代数量 两(m)=2AOAB mo(mv m2(mD)=±2△OAB 正负号规定与力对轴矩的规定相同 对着轴看:顺时针为负 逆时针为正 质点对点O的动量矩与对轴z的动量矩之间的关系: 0(m)]=m(m) 动量矩度量物体在任一瞬时绕固定点轴转动的强弱。kg:m2/s 二.质点的动量矩定理 d(mv) F 两边叉乘矢径下,有rd(m)=r×F F m)m左边可写成 d(mv) ds(×m)-5×m 而Xm=vXm=0,F×F=m(F), 故: (rxmv)=rxF, m,(mv=mo(F 质点对任一固定点的动量矩对时间的导数,等于作用在质 点上的力对同一点之矩。这就是质点对固定点的动量矩定理。 将上式在通过固定点O的三个直角坐标轴上投影,得 drm. (mv)=m, (F), d m,(mv)=m, (F), di m (mv)=m (F 上式称质点对固定轴的动量矩定理,也称为质点动量矩定 理的投影形式。即质点对任一固定轴的动量矩对时间的导数, 等于作用在质点上的力对同一轴之矩。 若m(F)=0(m(F)0)则m(m)=常矢量(m(m)=常量) 称为质点的动量矩守恒 注:计算动量矩与力矩时,符号规定应一致(本题规定逆时针 转向为正) 开始释放。求单摆的运动规律。 解:将小球视为质点。 受力分析;受力图如图示。 mo(F)=mo(T)+mo(mg )=-mgbingp 运动分析:v=1,⊥OMm0(m)=ml=mP ig 由动量矩定理am(m)=m(F 即d.(mP)= -mg lsin p,的+{sinp=0 微幅摆动时,sinp≈g,并令On2=吕,则炉+o2=0 解微分方程,并代入初始条件(t=0.q=φυ,￠。=0)则运动方程 9=%coyV,摆动周期T=2z §10-2质点系的动量矩定理 质点系的动量矩 质点系对点O动量矩: ∑mo(mV)=∑×m2v 质点系对轴动量矩:L=(m 二.质点系的动量矩定理 对质点M:立mn)m(F)+(F”)(=23m 对质点系,有∑m)列(F”)+》可F”)(=123 左边交换求和与导数运算的顺序,而 ∑m(mv),∑m(F)=0,则 d=∑m(F)=D 质点系对固定点的动量矩定理 将上式在通过固定点O的三个直角坐标轴上投影,得 d2mn(F)以d、 =∑m、(F)=M d t d 2m(F=M(e) d 质点系对固定轴的动量矩定理 定理说明内力不会改变质点系的动量矩,只有外力才能改 变质点系的动量矩。 质点系的动量矩守恒 *当M。0=0时,L=常矢量。 *当M(=0时,L=常量 例2]已知:猴子A重=猴子B重,猴B以相对绳速度卩 上爬,猴A不动,问当猴B向上爬时,猴A将如何动? 动的速度多大?(轮重不计) 解:∑mn(F)=0,:系统的动量矩守恒 O=mAVAr-mB ( V-VAr 猴A与猴B向上的绝对速度是一样的, 均为y 10