2011第八届中国东南地区数学奥林匹克解答[参考].pdfVIP

第八届中国东南地区数学奥林匹克 （试题参考解答宁波 ·北仑 2011 年 7 月） 第一天 ax 2  b 1. 已知min  3 . x R x 2  1 （1）求 的取值范围； b （2 ）对给定的 ,求a ． b （卢兴江供题） ax 2  b 解法 1 记f (x )  . 由f (0)  b 知，b  3 ，且易知a  0 . x 2  1 （i ）当b  2a  0 时， ax 2  b 2 b  a f (x )   a x  1   2 a(b  a)  3 x 2  1 x 2  1 2 b  a b  2a 等号当a x  1  时，即x   时取到 x 2  1 a b  b2 9 3 此时，a  ，特别当b  3 时，a  2 2 （ii ）当b  2a  0 时，令 x 2  1  t (t  1) b  a f (x )  g (t)  at  当t  1时单调增加，所以 t 3 min f (x)  g (1)  a b a  b  3 ，此时a  x R 2 综上所述：（1） 的取值范围是[3,) b 3 b  b2 9 （2 ）当b  3 时，a  ；当b  3 时，a  ． 2 2 ax 2  b ax 2  b 解法 2 设f (x )  . 因为min  3 ，且f (0)  b ，所以b  3 x 2  1 x R x 2  1 2 b  2a ax (x  ) 易知a  0 ，f (x )  a ， (x 2  1)3/ 2 1 1 / 10 （i ）当b  2a  0 时，令f (x )  0 得x0  0 ，且有 x  0 时，f (x )  0 ；x  0 时，f (x)  0 。所以f (0)  b 为最小值 所以b  3 b 即○1 b  3 ，○2 a 