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初中几何辅助线——三角形辅助线大全 题型?1．在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，可连结两点或延长某边构 造三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再利用三边 关系定理及不等式性质证题?. 例?1?如图，已知?D、E?为△ABC?内两点，求证：AB＋AC＞BD＋DE＋CE. 证法（一）：将?DE?向两边延长，分别交?AB、AC?于?M、N 在△AMN?中，?AM＋?AN＞MD＋DE＋NE ① 在△BDM?中，MB＋MD＞BD ② 在△CEN?中，CN＋NE＞CE ③ ①＋②＋③得 AM＋AN＋MB＋MD＋CN＋NE＞MD＋DE＋NE＋BD＋CE ∴AB＋AC＞BD＋DE＋CE 证法（二）延长?BD?交?AC?于?F，延长?CE?交?BF?于?G, 在△ABF?和△GFC?和△GDE?中有，  A ①AB＋AF＞BD＋DG＋GF ②GF＋FC＞GE＋CE ③DG＋GE＞DE  M??????D?G B????????????????????E F  N C 求证：? 求证：??1 AB＋AF＋GF＋FC＋DG＋GE＞BD＋DG＋GF＋GE＋CE＋DE ∴AB＋AC＞BD＋DE＋CE 练习：已知：P?为△ABC?内任一点， 2?(AB＋BC＋AC)＜PA＋PB＋PC＜AB＋BC＋AC 题型?2．三角形的一个内角平分线与一个外角平分线相交所成的锐角，等于第三 个内角的一半. 例?2?如图，已知?BD?为△ABC?的角平分线，CD?为△ABC?的外角∠ACE?的平分线，它与?BD 的延长线交于?D. 求证：∠A?=?2∠D 证明：∵BD、CD?分别是∠ABC、∠ACE?的平分线 ∴∠ACE?=2∠1,?∠ABC?=2∠2 ∵∠A?=?∠ACE?－∠ABC ∴∠A?=?2∠1－2∠2 A D 又∵∠D?=∠1－∠2 B 2 1 C?????E ∴∠A?=2∠D 题型?3.?三角形的两个内角平分线相交所成的钝角等于?90o?加上第三个内角的一 半. 1 例?3?如图，BD、CD?分别平分∠ABC、∠ACB，?求证：∠BDC?=?90o＋ ∠A 2 证明：∵BD、CD?分别平分∠ABC、∠ACB ∴∠A＋2∠1＋2∠2?=?180o ∴2(∠1＋∠2)=?180o－∠A① ∵∠BDC?= 180o－(∠1＋∠2) ∴(∠1＋∠2)?=?180o－∠BDC② 把②式代入①式得 A D 2(180o－∠BDC)=?180o－∠A 即：360o－2∠BDC?=180o－∠A ∴2∠BDC?=?180o＋∠A B???1 2????C ∴∠BDC?=?90o＋ 1 2  ∠A 题型?4.?三角形的两个外角平分线相交所成的锐角等于?90o?减去第三个内角的一 半. 1 例?4?如图，BD、CD?分别平分∠EBC、∠FCB，?求证：∠BDC?=?90o－ ∠A 2 证明：∵BD、CD?分别平分∠EBC、∠FCB ∴∠EBC?=?2∠1、∠FCB?=?2∠2 ∴2∠1?=∠A＋∠ACB ① 2∠2?=∠A＋∠ABC ② ①＋②得 2（∠1＋∠2）=?∠A＋∠ABC＋∠ACB＋∠A 2（∠1＋∠2）=?180o＋∠A ∴（∠1＋∠2）=?90o＋?1 2  ∠A  A ∵∠BDC?=?180o－(∠1＋∠2) ∴∠BDC?=?180o－(90o＋?1 2  ∠A)  E B 1  D 2???C  F ∴∠BDC?=?90o－ 1 2  ∠A 题型?5.?从三角形的一个顶点作高线和角平分线，它们所夹的角等于三角形另外 两个角差（的绝对值）的一半?. 例?5?已知，如图，在△ABC?中，∠C＞∠B，?AD⊥BC?于?D，?AE?平分∠BAC. 求证：∠EAD?= 1 2  (∠C－∠B)  A 证明：∵AE?平分∠BAC 1 ∴∠BAE?=∠CAE?= ∠BAC 2 ∵∠BAC?=180o－(∠B＋∠C)  B  E??D????C ∴∠EAC?= 1 2  〔180o－(∠B＋∠C)〕 ∵AD⊥BC ∴∠DAC?=?90o?－∠C ∵∠EAD?=?∠EAC－∠DAC ∴∠EAD?= 1 2  〔180o－(∠B＋∠C)〕－?(90o－  ∠C) =?90o－ 1 2  (∠B＋∠C)－90o＋∠C = 1 2  (∠C－∠B) 如果把?AD?平移可以得到如下两图，FD⊥BC?其它条件不变，结论为∠EFD?= 1 2 A A F  (∠C－∠B). B  E?D??????C B D F E?????????C 题型?6.在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角证明角的不等关系时， 如果直接证不出来，可连结两点或延长某边，构造三角形，使求证的 大角在某个三角形外