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离散最优化模型 李治 hzaulizhi@mail.hzau.edu.cn 华中农业大学理学院  离散问题是整数规划、组合数学图论、网络流等 许多学科讨论和研究的对象,这类问题在生产调度 交通控制、物流、管理科学和社会科学等有着广泛的 用途 在我们历年的数模的竞赛中,离散问题是很重要 的一个方面。如“锁具装箱”,“灾情巡视路线”等 等,本身就是个典型的离散问题;也有的问题里包含 着离散的子问题,如“车辆安排问题”,是个受到整 数的约束的优化问题。近几年的“乘公交,看奥运”, 体能测试时间安排 “地面有哪些信誉好的足球投注网站”,“NBA赛程的 分析与评价”,“眼科病床的合理安排”,“会议筹 备”等等都属于离散型问题。 华中农业大学李治  因此,在准备数模竞赛的过程中,有必要认真的研究如 何提高建立离散模型的质量。下面就离散优化问题,介 绍一下常见模型、算法及如何进行算法分析等 华中农业大学李治  建立规划模型的要点与技巧 要点: 准确理解题意 通过仔细读题,弄清楚我们最终要解决的 问题是什么?是单目标问题还是多目标问题?已 知条件有哪些?为了简化与解决问题,需要做 哪些必要的基本假设? 选择适当的决策变量 需要优化的目标是由哪些因素决定的?适 当引入决策变量来表示这些因素 华中农业大学李治  通常引入的决策变量有0-1变量,整数变量等 、设法用决策变量表示目标函数 在用决策变量表示目标函数时,有时需要 引入中间变量,有时要利用取整函数、符号函数、 绝对值函数等等 四、仔细分析约束条件 决策变量满足的约束主要有两方面: 是自身应有的约束,如非负约束、取整约束 等等;二是题目要求及客观实际的约束,这 种约束又可分为“硬约束”与“软约束” 华中农业大学李治  一、多目标问题的妥协 线性加权法;理想点法,极大极小法等 非线性规划的线性化 有时通过引入人工变量可将非线性规 划问题线性化 三、复杂规划问题的拆分 有时可将复杂的问题分成一系列较为 简单的子问题求解 华中农业大学李治  常见离散优化模型 离散优化研究那些含有有限个可行解的、日常生活中 大量存在的问题,一个重要而普遍的应用领域就是考 虑如何有效利用稀缺资源来提高生产力等 涉及整数规划、0-1规划、组合优化和图论等 如竞赛中常涉及的有下料问题;指派问题、选址问 题、装箱问题、背包问题、最短路问题、TSP(旅行 商)问题等。 华中农业大学李治  离散优化模型 下料问题 例1现要做100套钢架,用长为2.9m、2.1m和1.5m的元 钢各一根,已知原料长7.4m,问如何下料,使用的原材料 最省? 分析:下料方式: 最省:1所用刚架根数最少 2余料最少 华中农业大学李治  离散优化模型 原料截成所 下料方法 需长度的根 数 IIⅲrⅣVⅥⅦ|Ⅷ 所29需根长 2.115剩余料头0.10.30901.1020.81.4 设x表示按第种办法下料的原材料槌数 则问题的线性规划模型: 华中农业大学李治  离散优化模型 minf=0.lx1+03x2+0.9x3+0x4+1lx3+0.2x+0.8x,+14x8 2x1+x,+xx+xA≥100 2x,+3x3+3x5+2x。+x7≥100 st x1+x3+3xa4+2x+3x7+4x8≥100 x;≥0,=1,2,345,6,7,8;x取整 写出模型后可以直接用LⅠNGO求解 华中农业大学李治