换元法分解因式必威体育精装版.pdfVIP

换元法分解因式巧用 吴健 用换元法分解因式，它的基本思路就是将多项式中的某一部分用新的变量替换，从而 使较复杂的数学问题得到简化。本文谈谈应用换元法分解因式的技巧和方法。 一、整体换元 例1 分解因式：(a 2  3a  2)(a 2  3a  4)  16. 解：设a 2  3a  2  m ，则 原式 m(m  6)  16  m 2  6m  16  (m  8)(m  2)  (a 2  3a  6)(a 2  3a  4)  (a 2  3a  6)(a  4)(a  1). 评注：此题还可以设a 2  3a  m ，或a 2  3a  4  m ，或a 2  3a  1 m 。 二、均值换元 例2 分解因式：(a  1)(a  3)(a  5)(a  7)  15. 解：原式 [(a  1)(a  7)][(a  3)(a  5)]  15  (a 2  8a  7)(a 2  8a  15)  15. 1 2 2 2 m  [(a  8a  7)  (a  8a  15)]  a  8a  11. 取 “均值”，设 2  (m  4)(m  4)  15  m 2  16  15  m 2  1 (m  1)(m  1) 原式  (a 2  8a  12)(a 2  8a  10)  (a  2)(a  6)(a 2  8a  10). 三、双换元 例3 分解因式：(b  c)2  4(c  a)(a  b). 解：设c  a  p, a  b  q ，两式相加，则b  c  (p  q). 原式 [(p  q)]2  4pq  (p  q)2  [(c  a)  (a  b)]2  (b  c  2a)2 . 四、倒数换元 例4 分解因式a 4  7a 3  14a 2  7a  1. 2  2 7 1   a a  7a  14    2 解：原式  a a  2  2 1   1   a a   7 a   14  2      a   a   2 2  1   a [(m  2)  7m  14]  设 a   m    a   a 2 (m 2  7m  12)  a 2 (m  3)(m  4) 2  1  1   a a   3 a   4   a  a   (a 2  3a  1)(a 2  4a  1). 五、和差换元 例5 分解因式(ab  1)2  (a  b  2ab)(2  a  b). 解：设a  b 