立体几何知识点与例题讲解.docVIP

立体几何知识点、例题讲解 一、知识点 一常用结论 1.证明直线与直线的平行的思考途径:(1转化为判定共面二直线无交点;(2转化为二直线同与第三条直线 平行;(3转化为线面平行;(4转化为线面垂直;(5转化为面面平行. 2.证明直线与平面的平行的思考途径:(1转化为直线与平面无公共点;(2转化为线线平行;(3转化为面 面平行. 3.证明平面与平面平行的思考途径:(1转化为判定二平面无公共点;(2转化为线面平行;(3转化为线面 垂直. 4.证明直线与直线的垂直的思考途径:(1转化为相交垂直;(2转化为线面垂直;(3转化为线与另一线的 射影垂直;(4转化为线与形成射影的斜线垂直. 5.证明直线与平面垂直的思考途径:(1转化为该直线与平面内任一直线垂直;(2转化为该直线与平面内相交二直线垂直;(3转化为该直线与平面的一条垂线平行;(4转化为该直线垂直于另一个平行平面;(5转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直. 6.证明平面与平面的垂直的思考途径:(1转化为判断二面角是直二面角;(2转化为线面垂直. 7.夹角公式 :设a =123(,,a a a ,b =123(,,b b b ,则cos 〈a ,b 〉= 112233222222123 123 a b a b a b a a a b b b ++++++. 8.异面直线所成角:cos |cos ,|a b θ=r r =1212122222 2 2 1 1 1 222|| || |||| x x y y z z a b a b x y z x y z ++?=?++?++r r r r (其中θ(090θ≤o o 为异面直线a b ,所成角,,a b r r 分别表示异面直线a b ,的方向向量 9.直线AB 与平面所成角:sin |||| AB m arc AB m β?= (m 为平面α的法向量. 10、空间四点A 、B 、C 、P 共面OC z OB y OA x OP ++=?,且 x + y + z = 1 11.二面角l αβ--的平面角 cos ||||m n arc m n θ?= 或cos |||| m n arc m n π?- (m ,n 为平面α,β的法向量. 12.三余弦定理:设AC 是α内的任一条直线,且BC ⊥AC ,垂足为C ,又设AO 与AB 所成的角为1θ,AB 与AC 所成的角为2θ,AO 与AC 所成的角为θ.则12cos cos cos θθθ=. 13.空间两点间的距离公式 若A 111(,,x y z ,B 222(,,x y z ,则 ,A B d =||AB AB AB =? 222212121(((x x y y z z =-+-+-. 〈二〉解题思路: 1、平行垂直的证明主要利用线面关系的转化: 线∥线线∥面面∥面判定线⊥线线⊥面面⊥面性质线∥线线⊥面面∥面 ←→?←→??→??←→?←→?←? ??←→?←→? 线 面平行的判定 : a b b a a ∥,面,∥面???ααα a b α 线面平行的性质: αααβαβ∥面,面,∥?=? b a b 三垂线定理(及逆定理: P A A O P O ⊥面,为在内射影,面,则αααa ? a OA a PO a PO a AO ⊥⊥;⊥⊥?? α a P O 线面垂直: a b a c b c b c O a ⊥,⊥,,,⊥?=?αα a O α b c 面面垂直: a a ⊥面,面⊥αββα ?? 面⊥面,,,⊥⊥αβαβαβ =??l l aaa α a l β a b a b ⊥面,⊥面∥αα? 面⊥,面⊥∥α βαβ a a ? a b α 2、三类角的定义及求法 (1异面直线所成的角θ,0°θ≤90° (2直线与平面所成的角θ,0°≤θ≤90° θαα=时,∥或0b o b ? (二面角:二面角的平面角,30180 αβθθ--≤l o o (三垂线定理法:A ∈α作或证AB ⊥β于B ,作BO ⊥棱于O ,连AO ,则AO ⊥棱l ,∴∠AOB 为所求。 三类角的求法: ①找出或作出有关的角。 ②证明其符合定义,并指出所求作的角。 ③计算大小(解直角三角形,或用余弦定理。 二、题型与方法 求解空间距离和角的方法有两种:一是利用传统的几何方法,二是利用空间向量。 【例题解析】 是选准恰当的点,转化为点面距离.本例解析一是根据选出的点直接作出距离;解析二是等体积法求出点面距离. 考点1 异面直线所成的角 此类题目一般是按定义作出异面直线所成的角,然后通过解三角形来求角.异面直线所成的角是高考考查的重点. 例1、如图,在Rt AOB △中,π6 OAB ∠=,斜边4AB =.Rt AOC △可以通过Rt AOB △以直线AO 为轴旋转得到, 且二面角B AO C