离散数学 实数集合与集合基数精品.pptVIP

集合的基数 基数-集合中元素的个数 本章主要借助于函数讨论集合的所谓“大小” 问题。  自然数 今定义:对任意集合A,定义 A+=A∪{A} 称A+为A的后继,A为A+的前驱 例:若A=Φ,则 今+=  自然数 定义:集合0=是一个自然数,若集合n是一个 自然数,则集合n+1=n也是一个自然数 今0=① 令1=0+=0U{0}={0} 今2=1+=1U{1}={0,1} 3=2+=2U{2}={0,1,2} 今n+1=n+={0,1,2,3,…,n}  定义:设F是一个函数, Acdom F;对vx∈A,有F(x) ∈A,则称A在函数F下是封闭的 Peano系统是满足以下公理的有序三元组M,F, e,其中M为一个集合,F为函数,e为首元素5条 公理为 (1)e∈M. 令(2)M在F是封闭的 g)egranF (4)F是单射 (5)若M的子集A满足 ①e∈A 冷②A在F下是封闭的,则A=M 今定理设N为自然数集合,G:N→N,且0(人=n N,O,0是 Peano系统  自然数 定义:对任意的自然数m和n ◆mnmcn今nm m≤ namche≥m 定理.对任意的自然数m和n,下列三式有且仅有 式成立: mnym=nymn(三歧性)。 冷注1:任何自然数都不是自己的元素。 注2:任何自然数都是它自己的子集。 注3:mn→men.  自然数的运算 1.加法 定义:令+N×N→N,且对Vm,neN 今m,n→Am(n)记Am(n)=m+n 其中An(0)=m,Am(n+)=(An(n)+,则称 +为N上的加法运算 例:由加法定义计算3+2.  定理.设m,n∈N,则 0+m=m+0=m(加法规则1 m+n+=(m+n)+(加法规则2) 冷证明:m+0=Am1(0)=m(定义) 今0+m=A0(m)=A0(m-1)+)=… o m+n*=Am(n*=(Am(n)*=(m+n) 例:利用加法规则计算3+2  乘法 定义:令·:NxN→N,且对Vm,n∈N, 冷m,n→Mn(n),记作Mm(n)=mn 今其中Mn(O)=0,Mn(n+)=Mn(n)+m,则称 为N上的乘法运算 例:利用定义计算3·2 冷定理.设m,n∈N,则 冷m·0=0(乘法规则1) 冷mn+=men+m(乘法规则2) 例:利用乘法规则1和2重新计算3·2.  指数运算 冷定义:设⊙:N×N→N,且对vm,n∈N m,n→Em(n),记作:m.称⊙为N 上的指数运算其中Em(0)=1 Em(n=Em(n om 例:用定义计算32. 定理.对vm,n∈N,有 ☆m0=1 mnt=m●m  性质 定理.设m,n,k∈N,则 冷(1)m+(n+k)=(m+n)+k 冷(2)m+n=n+m 冷(③3)m(n+k)=men+mek 冷(4)mnek)=(men)k o(5)men=nom