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大学 《微分几何》（期末考试）试卷 （2004-2005学年第一学期） 考试类别： 考试 使用学生： 考试时间：150分钟 出卷时间2004年12月2 1 日 说明：考生应将全部答案都写在答题纸上，否则作无效处理. 一 （10% ）是非题 （正确打√，错误打×） 1、等距变换一定是保角变换. 2 、空间曲线的形状由曲率与挠率唯一确定. 3、二阶微分方程总表示曲面上两族曲线. 4 、连接曲面上两点的所有曲线段中，测地线一定是最短的. 5、坐标曲线网是正交网的充要条件是，这里是第一基本量. 二 （33% ）填空题 1、 已知，，则 ① ， ② ， ③ ， ④ ， ⑤ . 2 、已知曲面，，，则它的第一基本形式为 ⑥ ，第二基本形式 为 ⑦ ，高斯曲率 ⑧ ，平均曲率 ⑨ ，点处沿方向的法曲率 ⑩ ，点处的两个主曲率分别为 . 三 （24% ）计算题 1、求曲面的渐近曲线. 2 、已知曲面的第一基本形式为，，求坐标曲线的测地曲率. 四 （33% ）综合题 1、设空间两条曲线和的曲率处处不为零，若曲线和可以建立一一 对应，且在对应点的主法线互相平行，求证曲线和在对应点的切线夹固 定角. 2 、给出曲面上一条曲率线，设上每一点处的副法向量和曲面在该 点的法向量成定角. 求证是一条平面曲线. 3、问曲面上曲线的切向量沿曲线本身平行移动的充要条件是曲面 上的曲线是测地线吗？为什么？