固体物理习题7.pptVIP

第七章 晶体中的缺陷与扩散 7.1 考虑一个含有Ｎ个原子和n个肖特基缺陷的晶体，证明 在温度Ｔ时， 式中u是形成一个肖特基缺陷的能量 。 证明： 晶体中出现n个空位时，内能将增加 式中u是形成一个空位的能量。 整个晶体将包含N＋n个格点， 晶体中有n个空位时， 数目不太多，不出现相邻格点同时存在空位的情况，那末， 假定空位的出现并不影响晶体原来的振动状态，空位 N个相同的原子将可以有 种不同的方式排列在格点上， 由此引起熵的增量为 这样，当晶体存在n 个空位时，自由能将改变 应用平衡条件 因而可应用斯特令公式 ,且由于N,n数目都很大, 得到 于是 由于Nn，最后得 7.2假定从钠晶体中拔走一个钠原子放到晶体表面上所需的能量为 ，试计算 时肖脱基缺陷的浓度，并与 时 的空位浓度比较。 解： 已知肖特基缺陷数目为 题给 设对应于两个温度的缺陷 数分别为 和 ，因 所以 即当温度 从上升到 时， 肖特基空位数增大了 倍，可见空位数目随温度的变化是非常敏感的。 7.3 考虑一个包含N个原子和n个肖特基空位的晶体，原子振动 频率的分布遵循爱因斯坦模型。假设由于空位的出现，与之相 邻的m个原子的振动频率由 变为 ，试证明 式中u为形成一个肖特基缺陷的能量。 证明： (1) 由于晶体中有n个原子移到表面去，整个晶体一共包含N＋n个 内能将增加 如果形成一个空位需要能量u，当晶体中出现n个空位时， 格点。 N个相同的原子将可以有 种不同的方式排列在格点上， 由此而引起熵的增加为 (2) 如计及到由于空位的出现，其邻近的原子的振动频率要发生改 子的平均振动能（不考虑零点能）为 晶体原 则按照爱因斯坦模型， 变，这过程也要引起熵的增加， 原子振动对熵的贡献是 (3) 当温度较高， 时，则有 因而（3）式变为 (4) 当晶体中出现n个空位时，若每个空位有m个近邻原子，它们 的振动频率从 变为 ， 那么，整个晶体共有3nm 个频率为 和3（N－nm）个频率为 的谐振子。 这时，晶体中同原子 振动相联系的熵可根据(4)式表示为 (5) 由（4）（5）两式可以求得，由于空位近邻原子振动频率的 变化而引起晶体熵的改变 (6) 联合（1）（2）（6）式，由于n 个肖特基缺陷的出现及其近邻 原子振动频率的改变而引起晶体自由能的改变为 并应用斯特令公式 从上式得到 实际上， 于是得 这就是计及缺陷近邻原子振动频率发生改变情况下的肖特 基缺陷数目的统计表达式。 平衡时， ， 7.4 设u代表形成一个弗仑克尔缺陷所需的能量，证明在温度T 时，达到热平衡的晶体中弗仑克尔缺陷的数目为 式中， 分别代表晶体中的原子总数和间隙位置数。 证明： 这n个原子排列在 个间隙位置上的可能方式数为 在N个原子的晶格中形成n个空位的可能方式数为 这样，从N个格点上取出n个原子并把它们排列在 个间隙位 置上的总方式数 由此而引起熵的增量 应用斯特令公式 上式变为 (1) 由于每把一个格点原子安置在间隙位置上需要能量u， 依题设当存在n个间隙原子时内能的增量为 (2) 如果把形成缺陷所引起晶体体积的任何改变和缺陷近邻原子 振动频率的任何改变略去不计， 则（1）（2）两式代表缺陷出现所引起的自由能增量为 应用平衡条件 得到 即 因为实际上 故得 7.5 有一单原子晶体，原子在间隙位置上的能量比在格点位置 上高leV。设间隙位置数等于格点数，均等于原子数，试求在 什么温度下，有1／1000的原子跃入间隙位置？ 令N代表晶体的原子数（依题给，也等于格点数或间隙位 置数），n代表填隙原子数。 在N个格点中形成n个空位的可能方式数为 这n个原子排列在N个间隙位置上的可能方式数 于是，N个原子中有n个跑到间隙位置所引起的熵的增加是 解： 在此同时，内能的增量为 自由能的增量 式中u代表原子位于间隙位置比在格点处高出的能量。 利用斯特令公式 由平衡条件 容易得到 代入 即得 7.6 在离子晶体中，由于电中性的要求，肖脱基缺陷都成对出现。令 代表正、负离子空位的对数， 是形成一对缺陷所需的能量， 为整个离子晶体中正、负离子对的数目，在理论上 （1）试求产生肖脱基缺陷后晶体体积的相对变化 为无缺陷时晶体的体积。 （2）在 时，用 射线测定食盐的离子间距，再由确定的密度 算得的分子量 为 ，而用化学方法测定的分子量 是 ，求在