数学建模 第一章 建立数学模型.pptVIP

示例: 可口可乐饮料罐的形状 我们先看这样的数学题: “用铁皮做成一个容积一定的圆柱形的无盖(或有盖)容器，问应当如何设计，才能使用料最省，这时圆柱的直径和高之比为多少?”(一般数学分析或高等数学教材中导数的应用(极值问题)部分的一道例题). 实际上,用几何语言来表述就是:体积给定的圆柱体,其表面积最小的尺寸(半径和高)为多少? 表面积用S表示, 体积用V表示, 则 问题分析和模型假设 饮料罐近似看成一个正圆柱是有一定合理性的.要求饮料罐内体积一定时,求能使易拉罐制作所用的材料最省的顶盖的直径和从顶盖到底部的高之比. 实际上,饮料罐的形状是如下平面图形绕其中轴线旋转而成的立体. 模型的建立 饮料罐的半径为r (因此,直径为2r), 罐的高为. h 罐内体积为. V 除顶盖外的材料的厚度.b 顶盖的厚度为 (顶盖就能感觉到更硬) 其中r,h是自变量, 所用材料的体积SV是因变量, 而b 和V是固定参数, 是待定参数 因 ,所以带 , 的项可以忽略,所以 模型的求解 从约束中解出一个变量,化条件极值问题为求一元函数的无条件极值问题 使原问题化为:求 使 S 最小,即,求r 使下式最小. 求临界点:令其导数为零 得 模型验证及进一步的分析 有人测量过顶盖的厚度确实为其他材料厚度的3倍.如果易拉罐的半径为3厘米,则其体积为 实际上,饮料罐的形状是左平面图形绕其中轴线旋转而成的立体. 可以把饮料罐的体积看成两部分,一是上底半径为3厘米,下底半径为3.3 厘米,高为1厘米的锥台,二是半径为3.3厘米,高为10.2厘米的圆柱体.它们的体积分别为 31.2立方厘米和349立方厘米总共为380.2立方厘米. 进一步讨论 此外,诸如底部的形状,上拱的底面,顶盖实际上也不是平面的,略有上拱,顶盖实际上是半径为3 + 0.4 + 0.2 = 3.6厘米的材料冲压而成的,从顶盖到胖的部分的斜率为 0.3, 这些要求也许保证了和饮料罐的薄的部分的焊接(粘合)很牢固,耐压. 饮料罐侧面所用材料的体积 罐内体积 所用材料的体积 顶盖和底部所用材料 , 这是极其重要的合理假设或简化! 其中S是目标函数, 是约束条件, V是已知的(即罐内体积一定), 即要在体积一定的条件下,求罐的体积最小的 r,h和 使得r,h和测量结果吻合. 这是一个求条件极值的问题. 测量数据为 , 即 即 顶盖厚度是其他材料厚度3倍 本题还可Lagrange乘子法来解 (增加一个变量化条件极值问题为多元函数无条件极值问题) 装不下那么多饮料，为什么？ 模型到底对不对 ？ 测量结果为:未打开罐时饮料罐的重量为370克,倒出来的可乐确实重355克,空的饮料罐重量为15克,装满水的饮料罐重量为380克.这和我们的近似计算380.2立方厘米十分接近！饮料罐不能装满饮料(365克),而是留有10立方厘米的空间余量. 所有这些都是物理、力学、工程或材料方面的要求,必须要有有关方面的实际工作者或专家来确定.因此,我们也可以体会到真正用数学建模的方法来进行设计是很复杂的过程,只依靠数学知识是不够的,必须和实际工作者的经验紧密结合. 第一章 建立数学模型 1.1 从现实对象到数学模型 1.2 数学建模的重要意义 1.3 数学建模示例 1.4 数学建模的分类 1.5 数学模型与能力培养 玩具、照片、飞机、火箭模型… … ~ 实物模型 水箱中的舰艇、风洞中的飞机… … ~ 物理模型 地图、电路图、分子结构图… … ~ 符号模型 模型是为了一定目的，对客观事物的一部分 进行简缩、抽象、提炼出来的原型的替代物 模型集中反映了原型中人们需要的那一部分特征 1.1 从现实对象到数学模型 我们常见的模型 你碰到过的数学模型——“航行问题” 用 x 表示船速，y 表示水速，列出方程： 答：船速20千米/小时. 甲乙两地相距750千米，船从甲到乙顺水航行需30小时， 从乙到甲逆水航行需50小时，问船的速度是多少? x =20 y =5 求解 航行问题建立数学模型的基本步骤 作出简化假设（船速、水速为常数）； 用符号表示有关量（x, y表示船速和水速）； 用物理定律（匀速运动的距离等于速度乘以 时间）列出数学式子（二元一次方程）； 求解得到数学解答（x=20, y=5）； 回答原问题（船速每小时20千米）。 数学模型 (Mathematical Model) 和 数学建模（Mathematical Modeling) 对于一个现