计算方法课后习题答案.docx

精选资料，欢迎下载 精选资料，欢迎下载 精选资料，欢迎下载 精选资料，欢迎下载 计算方法习题答案 王新民术洪亮编 吉大仪电 春哥 201215/10 第一章习题答案 1. 已知 f (_1) =2, f (1) =1, f (2) =1，求 f (x)的 Lagrange 插值多项式。 解：由题意知： X。- -1,捲 X。- -1,捲=1,X2 =2;y° =2,y, =1,y2 =1 (x—X1)(x—X2) (x—1)(x — 2) 10 ： (X。-X1)(x。-X2) 6 =(X-X0)(X-X2)(x 1)(x-2) (X1 -乞)(为-X2) =(X-X0)(X-X1) (X2 -X0)(X2 -xj 11 l2 _ (x 1)(x-1) ，“、 (x—1)(x — 2) c (x + 1)(x — 2) * (x 十 1)(x — 1) ’ L2(x)二 yj1j x 2 1 1 j =0 2 =6 x2—3x 8 2.取节点 x 2. 取节点 x0 =0,x, =1,x2 =—,对y =e」建立Lagrange型二次插值函数，并估 计差。 解1)由题意知： _j 丿 冷=0, x1 = 1,x2 * ； y0 ~ 1, y1 ~ e , y2 = e 2 2 则根据二次Lagrange插值公式得： (X — Xj(X—X2) (X—X0)(X — X2) (X — X0)(X — X1) L2 (x) y° y (X0 — X1)(X° — X2) (X1 -X0)(X1 -X2) (X2 — X0)(X2 — X1) = 2(x-1)(x-0.5) 2x(x-0.5)e‘ -4x(x-1)e』.5 =(2 2e」—4e°5)x2 (4e』.5 _e^ —3)x 1 2)根据Lagrange余项定理，其误差为 TOC \o 1-5 \h \z f⑶心 1丄 R(x)円 o( )「2 1(x)|=lae-x(x-1)(x-0.5)| 3! 6 叮 max|x(x-1)(x-0.5)i, (0,1) 取 t(x) =x(x-1)(x-0.5),并令 t(x)=3x2-3x 0.5 = 0 3-43 可知当x = 3 3 =0.2113寸，t(x)有极大值 6 R2(x)岂1 0.2113 (0.2113-1) (0.2113-0.5)=0.00802 6 3.已知函数y =罗X在x =4,x=：6.25,x=：9处的函数值，试通过一个二次插值函数求,7的近似值，并估计其误差。解: 3.已知函数y =罗X在x =4,x=：6.25,x=：9处的函数值，试通过一个二次插值 函数求,7的近似值，并估计其误差。 解: 由题意y 知： =4,為=6.25,x2 =9;y° =2,% =2.5,y2 =3 (1) 2 采用Lagrange插值多项式y = ：、R(x)八T j(x)yj j』 -7 L2 (x) |x=7 (x-xj(x -X2) y0 (x0 - x1)(x0 - x2 ) (7 -6.25)(7 -9) 2.25 5 -2.6484848 其误差为 f (3)() i)(7 _4)(7 _6.25)(7 _9) (X -X°)(X -X2) (X-X°)(X-X1) y1 y2 (x1 - x0)(x1 - x2) (X2 - x0 )(x2 - X1 ) 7+(7-4)(7-9長25+.(7-4 *)(7-6.2讥3 —2.25x2.75 2.75X5 5 2 又f ⑶(x) = 3x 8 3 则 max | f ⑶(x) | 4 J： 0.01172 [4,9] 8 .|R2(7)卜：1 (4.5)(0.01172) =0.00879 6 (2)采用Newton插值多项式丫仝x N2(x) i Xi f(Xi) 一阶差商 二阶差商 0 4 2 1 6.25 2.5 % 2 9 3 %1 -尤95 根据题意作差商表: 2(7) =2 (7 -4) (7 -4) (7 -6.25) ： 2.6484848 注意到：若n+1个节点x (i =0,1,…，n )互异，则对任意次数 兰n的多项式f(x)，它 关于节点x i =0,1,..., n满足条件P Xi二yj =0,1,...,n的插值多项式P x就是它本 身。可见,当k _ n时幕函数f (x) = xk (k = 0,1,..., n)关于n + 1 个节点 xi(i=0,1,..., n )的插 值多项式就是它本身，故依 Lagrange公式有 nk Xj nk Xjlj X 八(H j卫 n n X — Xi、k ——)Xj j =0 i =0 xj _ xi iT 三 xk,k = 0,1,...,n 特别地，当k =0时,n