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Lyapunov稳定性的基本定理 口主要研究 Lyapunov意义下各种稳定性的判定定理和判定方法。 讨论的主要问题有 基本概念:矩阵和函数的定号性(正定性、负定性等) 基本方法:非线性系统线性化方法 Lyapunov第一法 Lyapunov s first method 矩阵符号(正定性、负定性等)检验方法 Lyapunov第二法 Lyapunov s second method 重点、难点! 112 Lyapunov第一方法 口 Lyapunov第一法又称间接法( indirect method),它是研究 动态系统的一次近似数学模型(线性化模型)稳定性的方法 它的基本思路是: 首先,对于非线性系统,可先将非线性状态方程在平衡 态附近进行线性化, 即在平衡态求其一次 Taylor展开式( Taylor expansion) 然后,利用这一次展开式表示的线性化方程去分析 系统稳定性。 其次,解出线性化状态方程组或线性状态方程组的特征 值,然后根据全部特征值在复平面上的分布情况来判定 系统在零输入情况下的稳定性 口下面将讨论 Lyapunov第一法的结论以及在判定系统的状态稳 定性中的应用 口设所讨论的非线性动态系统的状态方程为 其中f(x)为与状态向量x同维的关于x的非线性向量函数, 其各元素对x有连续的偏导数 口欲讨论系统在平衡态x的稳定性,先必须将非线性向量函数 f(x)在平衡态附近展开成 Taylor级数,即有 x=f(x) af() X ox (xx)+R(x≮ =A(rx)+R(rx) 其中A为m×m维的向量函数f(x)与x间的雅可比矩阵 R(x-x)为 Taylor展开式中包含x-x的二次及二次以上的余项 雅可比矩阵 Jacobian matrix)A定义为 af/ a A ofn1x1…Ofn
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