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一道奥赛训练题的溯源和探究 北京化工大学附中：王名利、邱继勇 (邮编：100029) 一、原题与溯源 《中等数学》2008年第6期数学奥林匹克高中训练题（13）一试第五题： 设抛物线的顶点为A，焦点为F．过点F作直线l与抛物线交于点P、Q，直线AP、AQ分别与抛物线的准线交于点M、N，问：直线l满足什么条件时，三直线PN、QM、FA恒交于一点？ 当前各类考试中，有很多优秀试题都源于课本.我们认为，人教版高中课本（《数学》第二册（上））第119页第7题是本训练题的原型： 过抛物线的焦点的一条直线和这条抛物线相交，两个交点的纵坐标为、．求证：. 图(1) 二、证明 本训练题源于课本，解题过程体现“通法”，结论具有发展性，是极有研究价值的一个好问题． 下面,我们利用课本习题的结论,探求训练题中直线PN、QM、FA的位置关系． 解：依题，得直线AP的方程为:=，直线AQ的方程为:=． 由 ，得． ∴=====． 同理 ． 于是，且三直线PN、QM、AF互相平行．即：不论直线l满足什么条件时，三直线PN、QM、FA都不交于一点． 我们得到正确的结论： 命题1：设抛物线的顶点为A，过焦点F(,0)，作直线l与抛物线=2px(p0)交于点P、Q，直线AP、AQ分别与抛物线的准线交于点M、N，则三直线PN、QM、FA互相平行． 三、变式、推广 对典型问题的充要性、运动变化过程中的不变性和类比到相似情景中的一般性结论的质疑，是中学数学教学研究、初等数学研究的重要方法，它可以提高学生提出“有价值”的数学问题的能力，促进学生形成数学的思维方式[文1]． 下面以《中等数学》中给出的赛题训练题为例，阐述如何应用上述观点进行教学研究的． 为了叙述方便，我们将坐标系原点设为点O(训练题中，点A为坐标系原点)． 1、充分性研究（命题1的逆命题） ⑴变式1：“直线OP、OQ分别与抛物线的准线交于点M、N”等价于“P、O、M三点共线，Q、O、N三点共线”．将条件“P、O、M三点共线，Q、O、N三点共线”与“直线PN、QM、FO互相平行”互换，可以得到新的命题： 命题2：设抛物线=2px(p0)，过焦点F(,0)作直线l与抛物线交于点P、Q，过点P、Q分别作准线的垂线PN、QM，则：点P、O、M共线，点Q、O、N共线． 简证：如图(2)，设点P，点． 则点，点． 可推导出直线PM的方程： =． 易证：点O（0，0）满足直线PM的方程． 图(2) ∴ P、O、M三点共线． 同理，Q、O、N三点共线． ⑵ 变式2：“直线OP、OQ分别与抛物线的准线交于点M、N”等价于“PM、QN交于点O”．将条件“PM、QN交于点O”与“直线PN、QM、OF互相平行”互换得到： 命题3：设抛物线=2px(p0)，过焦点F(,0)作直线l与抛物线交于点P、Q，过点P、Q分别作准线的垂线PN、QM，则直线PM、QN交于点O． 证明略(参照命题1的证明) ． 2、一般化研究 我们将抛物线的焦点F(,0)，推广到抛物线对称轴（在抛物线内部）上的任意一点E(m,0) (m0)，可得到一般化的命题． 命题4：设抛物线(p0)，过点E(m,0) (m0) 作直线l与抛物线交于点、，直线PO、QO分别交直线x=－m于点M、N． 则 (1) ； (2)PN∥x轴∥QM． 此命题可仿命题1的证明过程，这里不赘述． 3、类比研究 抛物线、椭圆、双曲线有相同的定义和许多相似的性质，若我们视直线PN、 直线QM为从抛物线的另一个顶点——“无穷远点”引出的直线，命题4就可以类比到椭圆中了． 命题5：直线PQ过椭圆=1（＞＞0）长轴上一点E（－m,0）(m0，)与椭圆交于点P、Q；直线l：， S、T是椭圆长轴上的两个顶点，直线SP与直线l交于点M，直线SQ与直线l交于点N．则直线PN、QM交x轴于点T(-,0)． 证明：如图(3)，设点P(x1,y1)，点Q(x2,y2)， 并设直线PT、SQ的斜率分别为、， 图(3) 则，……① 直线PT的方程：y=(x+a) ，直线SQ的方程：y=k2(x-a) ． 联立直线PT、SQ的方程组，假设直线PT、SQ交于点Nˊ， 则Nˊ点的横坐标为……② 将①中两