4.5.1曲边梯形的面积.ppt

小结 （曲边梯形的面积求法） 定义 二、定积分的定义 记为 被积函数 被积表达式 积分变量 积分下限 积分上限 积分和 注意： 定理1 定理2 三、存在定理 曲边梯形的面积 曲边梯形的面积的负值 四、定积分的几何意义 几何意义： 解 例1 利用定义计算定积分 例2 利用定义计算定积分 解 在 [0,1]上连续，故f(x)在[0,1]上可积 为方便计，将 [0,1]n 等分，左侧取点 等比数列 证明 利用对数的性质得 极限运算与对数运算换序得 故 １．定积分的实质：特殊和式的极限． 分、粗、和、精 ２．定积分的思想和方法： 分割 化整为零 求和 积零为整 取极限 精确值——定积分 求近似以直（不变）代曲（变） 取极限 五、小结 微积分在几何上有两个基本问题 1.如何确定曲线上一点处切线的斜率； 2.如何求曲线下方“曲线梯形”的面积。 x y 0 x y 0 x y o 直线 几条线段连成的折线 曲线？ 4.5.1曲边梯形的面积 直线x?0、x?1、y?0及曲线y?x2所围成的图形（曲边三角形）面积S是多少？ x y O 1 方案1 方案2 方案3 为了计算曲边三角形的面积S，将它分割成许多小曲边梯形 对任意一个小曲边梯形，用“直边”代替“曲边”（即在很小范围内以直代曲），有以下三种方案“以直代曲” 。 y = f(x) b a x y O A1 A1 A1 A ? A1. 用一个矩形的面积 A1近似代替曲边梯形的面积A， 得 A ? A1+ A2 用两个矩形的面积 近似代替曲边梯形的面积A， 得 y = f(x) b a x y O A1 A2 A ? A1+ A2+ A3+ A4 用四个矩形的面积 近似代替曲边梯形的面积A， 得 y = f(x) b a x y O A1 A2 A3 A4 y = f(x) b a x y O A ? A1+ A2 + ? ? ? + An 将曲边梯形分成 n个小曲边梯形，并用小矩阵形的面积代替 小曲边梯形的面积， 于是曲边梯形的面积A近似为 A1 Ai An 分割越细，面积的近似值就越精确。当分割无限变细时，这个近似值就无限逼近所求曲边梯形的面积S。 下面用第一种方案“以直代曲”的具体操作过程 求y?x2所围成的曲边梯形图形 （1）分割 把区间[0，1]等分成n个小区间： 过各区间端点作x轴的垂线，从而得到n个小曲边梯形，他们的面积分别记作 （2） 以直代曲 （3）作和 （4）逼近 分割 以曲代直 作和 逼近 当分点非常多（n非常大）时，可以认为f(x)在小区间上几乎没有变化（或变化非常小），从而可以取小区间内任意一点xi对应的函数值f(xi)作为小矩形一边的长，于是f(xi) △x来近似表示小曲边梯形的面积 表示了曲边梯形面积的近似值 演示 后白中学 夏玉青 观察以下演示，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系。 后白中学 夏玉青 观察以下演示，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系。 后白中学 夏玉青 观察以下演示，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系。 后白中学 夏玉青 观察以下演示，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系。 后白中学 夏玉青 观察以下演示，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系。 后白中学 夏玉青 观察以下演示，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系。 后白中学 夏玉青 观察以下演示，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系。 后白中学 夏玉青 观察以下演示，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系。 后白中学 夏玉青 观察以下演示，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系。 后白中学 夏玉青 观察以下演示，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系。 后白中学 夏玉青 观察以下演示，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系。 后白中学 夏玉青 观察以下演示，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系。 后白中学 夏玉青 观察以下演示，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系。 后白中学 夏玉青 观察以下演示，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系。 后白中学 夏玉青 观察以下演示，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系。 总结求解过程 y = f(x) b a x y O x1 xi-1 xi xn-1 x2 xi f(xi) x1 x2 f(x1) f(x2) f(xi)?xi 在 [a, b]中任意插 入 n -1个分点． 得n个小区间：