高中数学第一章导数在研究函数中的应用函数的单调性与导数学案新人教.doc免费

高中数学-第一章.-导数在研究函数中的应用-..-函数的单调性与导数学案-新人教 ———————————————————————————————— 作者: ———————————————————————————————— 日期: ? 1.3．１ 函数的单调性与导数 学习目标：1.理解导数与函数的单调性的关系．(易混点)2．掌握利用导数判断函数单调性的方法.(重点)3．会用导数求函数的单调区间．（重点、难点) [自 主　预 习·探 新 知] 1.函数的单调性与其导数正负的关系 定义在区间(a,b)内的函数y＝f(x): f′（x)的正负 ｆ(x)的单调性 f′(ｘ)0 单调递增 ｆ′（x）＜0 单调递减 思考：如果在某个区间内恒有f′（x）＝０，那么函数ｆ(x）有什么特性? ［提示]ｆ（ｘ)是常数函数. ２.函数图象的变化趋势与导数值大小的关系 一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a,ｂ)上: 导数的绝对值 函数值变化 函数的图象 越大 快 比较“陡峭”（向上或向下) 越小 慢 比较“平缓”(向上或向下） [基础自测］ 1．思考辨析 (１)函数f(x)在定义域上都有f′（x)０，则函数f(x)在定义域上单调递增．( ) (2)函数在某一点的导数越大,函数在该点处的切线越“陡峭”．（　 ) (3)函数在某个区间上变化越快，函数在这个区间上导数的绝对值越大.( 　) [答案] （１)× (2)× (3)√ 2．函数f(x)=２x－ｓin x在（-∞，+∞)上是(　　） A．增函数　 ?Ｂ．减函数 C.先增后减 D.不确定 A [∵f（x)＝２x－sｉn x, ∴f′（x)＝2－cos ｘ＞0在(-∞，＋∞)上恒成立， ∴f(x)在(-∞,+∞)上是增函数.] 3.函数ｙ=ｆ(x)的图象如图1-3-1所示,则导函数y＝f′(ｘ)的图象可能是（ 　) 图1-3-1 D [∵函数f(x)在(0，＋∞)，(－∞,0)上都是减函数,∴当ｘ０时，f′(x)0，当ｘ＜0时,f′（x)＜0．] 4．函数ｆ(x）＝ex-x的单调递增区间为________. 【导学号 [解析] ∵f（ｘ）=eｘ-x， ∴f′(x)=ex－1． 由ｆ′（x)０得,ex-1＞０， 即x＞0. ∴ｆ(x)的单调递增区间为(0,+∞). ［答案］　（０，+∞） ?[合 作 探 究·攻 重 难］ 函数与导函数图象间的关系 (1)设函数f(x)在定义域内可导,y＝ｆ（ｘ）的图象如图１-3-２所示，则导函数y=ｆ′(x)的图象可能为(　 ) 图1-3-2 （2）已知f′(x)是f(x）的导函数,f′(x）的图象如图1-3-３所示，则f(x)的图象只可能是( 　) 图1-3-３ （1)D (2）D [(1)由函数的图象可知:当x0时,函数单调递增，导数始终为正；当ｘ＞０时，函数先增后减再增,即导数先正后负再正,对照选项,应选D. (2)从f′（x）的图象可以看出,在区间ｅq ＼b\lc\（＼rc＼)(\ａ\vs4\al\cｏ1(a,\f(a+b,２))）内，导数单调递增；在区间ｅq \b\ｌc\(\ｒｃ\）（\ａ＼ｖs４\aｌ＼ｃo１（＼ｆ(a+b，2),b))内,导数单调递减.即函数ｆ(x)的图象在eq　\ｂ\lc\(\ｒｃ\)(＼a\vs4＼al\ｃo1（ａ，\ｆ（a＋b,2))）内越来越陡，在eq ＼b＼lｃ＼(\rｃ\)(\a＼vs4＼al\cｏ1(＼f(ａ+b,2)，b）)内越来越平缓,由此可知,只有选项D符合．] [规律方法] 研究函数与导函数图象之间关系的方法 研究一个函数的图象与其导函数图象之间的关系时，注意抓住各自的关键要素,对于原函数，要注意其图象在哪个区间内单调递增,在哪个区间内单调递减；而对于导函数,则应注意其函数值在哪个区间内大于零,在哪个区间内小于零,并分析这些区间与原函数的单调区间是否一致. [跟踪训练] １．已知y=ｘf′(x)的图象如图1-3-4所示(其中ｆ′(ｘ)是函数ｆ(x)的导函数)下面四个图象中,y=f(x）的图象大致是( ) 图1-3-4 C　[当0ｘ1时，ｘf′（x)＜0, ∴ｆ′(ｘ)＜0,故f(x)在(０,1)上为减函数; 当x１时，xf′（x）＞0，∴f′(x)＞0, 故ｙ=f（x)在（1,＋∞)上为增函数．故选C.] 利用导数求函数的单调区间 角度1 不含参数的函数求单调区间 　求下列函数的单调区间． (1)ｆ(x)=3x2－2lｎ ｘ;(2)f(x）＝x２·e－x； (3)f(x)=x+ｅq \f(1,ｘ）. 【导学号 [解]　(1)函数的定义域为D＝（0，＋∞)．∵f′(x)=6x－ｅq \f（2,x),令f′(x）=０，得x1=eｑ \ｆ(\r(3),３),x2=－eq