质点动力学简.ppt

解： （ 一维运动问题，可以用代数形式 ） ? ? r d F A ? ? ＝ ? ? ? t adt v v 0 0 3 3 2 3 0 0 12 3 36 729 A t t dt t dt J ? ? ? ? ? ? ? vdt F ? ? ? ? ? t dt m F 0 0 2 0 3 2 12 t dt t t ? ? ? dt dt dx F Fdx ? ? ? ? 例题 质量为 2 kg 的质点在力 (SI) 的 作用下，从静止出发，沿 x 轴正向作直线运动。 求前三秒内该力所作的功。 i t F ? ? 12 ＝ 合外力对质点所做的功等于质点动能的增量。 二、质点的动能定理 (Theorem of Kinetic Energy) 2 1 k k k A E E E ? ? ? ? 描写物体运动状态的物理量， 称为 动能 (Kinetic Energy) 。 2 1 2 k E mv ? 质点的动能定理 ： dv dv A F dr m dr m vdt mv dv dt dt ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 ( ) 2 md v v ? ? ? 功和动能都与 参考系 有关； 动能定理仅适用于 惯性系 . 注意 F dr ? a b θ 2 1 2 2 2 2 1 1 1 1 ( ) 2 2 2 a b d mv mv mv ? ??? ? ? ? ? 定积分 v v 1) 动能定理的实质，说明了力的空间积累效果是 改变了物体的动能。 明确几点： 2) 功是 过程量 ，动能是 状态量 ，动能定理建立起 过程量功与状态量动能之间的关系。 在计算复杂的 [ 外 ] 力作功时只须求质点始末两 态的动能变化，即可求出该过程中 [ 外 ] 力对质 点所做的功。 ? ? ? ? b k a F dr E 3) A 为 [ 合 ] 外力对质点做的功，或者说是所有外力 对质点做的功的代数和。 动能定理中的速度必须相对同一个惯性系。 4 ） 通过做功，质点与外界进行能量交换。 如果 外力对物体做负功，质点的动能减少， 或者说，物体克服外力作功，是以减少自身 的动能为代价的。 如果 外力对物体做正功，质点动能增加； 所以，动能反映物体因运动而具有的作功的本领。 例题 一链条总长为 l ，质量为 m 。放在桌面上并使其下 垂，下垂的长度为 a ，设链条与桌面的滑动摩擦系数为 ? ， 令链条从静止开始运动，则： 1 ）到链条离开桌面的过 程中，摩擦力对链条做了多少功？ 2 ）链条离开桌面时 的速率是多少？ x l-x x O 解： (1) 建坐标系如图 ( ) l l f a a mg A f dr l x dx l ? ? ? ? ? ? ? ? 注意：摩擦力作负功！ ( ) / f mg l x l ? ? ? 2 2 ( ) ( ) 2 2 l a mg mg l x l a l l ? ? ? ? ? ? ? ? (2) 对链条应用动能定理： 1 2 2 2 2 ( ) ( ) v g l l a l a ? ? ? ? ? ? ? ? ? 得 2 0 1 0 2 P f v A A mv ? ? ? ＋ 2 2 ( ) 2 l l P x a a mg mg l a A m g dr xdx l l ? ? ? ? ? ? ? 2 ( ) 2 f mg l a A l ? ? ? ? 前已得出： 2 2 2 2 ( ) ( ) 1 2 2 2 mg l a mg l a mv l l ? ? ? ? ? ? 2 2 0 1 1 2 2 P f A A A mv mv ? ? ? ＝ ＋ x l-x x O 讨论： 1 ） 计算时是设链条自下垂长度为 a 的状态释放， 能够开始下滑。 不难判断， a 需满足的条件为： ( ) 1 l a l a a mg mg l l ? ? ? ? ? ? ? ， 2 ） 由结果可知， 只与 v l a ? 、 及 有关 , 而与总质量无关。 3 ） 该题也可以由 功能原理 求解；若桌面光滑，也 可以直接由 机械能守恒 求解，得出： 1 2 2 2 ( ) v g l l a ? ? ? ? ? ? 0 P A P dr ? ? ? ? dr dxi dyj dzk ? ? ? ( ) b a mgz mgz ? ? ? k mg P ? ? ? ? d d b a b z P a z A P r mg z ?