考研数学历年真题_数学一_排版后的_可直接打印(A4+页码).docVIP

第 1 页 共 86 页 1987年全国硕士研究生入学统一考试 数学(一)试卷 一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)当x=_____________时,函数y?x?2取得极小值. (2)由曲线y?lnx与两直线y?e?1?x及y?0所围成的平面图形的面积是_____________. x?1 x (3) 与两直线y??1?t及 z?2?t 2 x?11 2 ? y?21 ? z?11 都平行且过原点的平面方程为_____________. (4)设L为取正向的圆周x?y?9,则曲线积分??(2xy?2y)dx?(x?4x)dy= _____________. L 2 (5)已知三维向量空间的基底为α1?(1,1,0),α2?(1,0,1),α3?(0,1,1),则向量β?(2,0,0)在此基底下的坐标是_____________. 二、(本题满分8分) 求正的常数a与b,使等式lim 三、(本题满分7分) (1)设f、g为连续可微函数,u?f(x,xy),v?g(x?xy),求?3? (2)设矩阵A和B满足关系式AB=A?2B,其中A??1 ??0 ?u?v ,. ?x?x 1bx?sinx x?0 ? x0 ?1成立. 011 1?? 0,求矩阵B. ?4?? 四、(本题满分8分) 求微分方程y????6y???(9?a2)y??1的通解,其中常数a?0. 五、选择题(本题共4小题,每小题3分,满分12分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号(C)x取得极小值 s (B)x取得极大值 (D)x的导数不存在 (2)设x为已知连续函数,I?t?tf(tx)dx,其中t?0,s?0,则I的值 (A)依赖于s和t (B)依赖于s、t和x 第 2 页 共 86 页 (C)依赖于t、x,不依赖于s ? (D)依赖于s,不依赖于t (3)设常数k?0,则级数?(?1)n n?1 k?nn 2 (A)发散 (C)条件收敛 (B)绝对收敛 (D)散敛性与k的取值有关 * * (4)设A为n阶方阵，且A的行列式|A|?a?0,而A是A的伴随矩阵，则|A|等于 (A)a (C)a n?1 (B) 1a n (D)a 六、（本题满分10分） 求幂级数? n?1? 1n?2 n x n?1 的收敛域，并求其和函数. 七、（本题满分10分） 求曲面积分 I? ??x(8y?1)dydz?2(1? ? 2 y)dzdx?4yzdxdy, 其中? 是由曲线f(x)?? ?? ??z? 1?y?3x?0 绕y轴旋转一周而成的曲面,其法向量与y轴正向的夹角恒大于 ? 2 . 八、（本题满分10分） 设函数x在闭区间上可微,对于上的每一个x,函数x的值都在开区间(0,1)内,且f?(x)?1,证明在(0,1)内有且仅有一个x,使得f(x)?x. 九、（本题满分8分） 问a,b为何值时,现线性方程组 x1?x2?x3?x4?0x2?2x3?2x4?1?x2?(a?3)x3?2x4?b3x1?2x2?x3?ax4??1 有唯一解,无解,有无穷多解?并求出有无穷多解时的通解. 十、填空题(本题共3小题,每小题2分,满分6分.把答案填在题中横线上) (1)设在一次实验中,事件A发生的概率为p,现进行n次独立试验,则A至少发生一次的概率为____________;而事件A至多发生一次的概率为____________. (2)有两个箱子,第1个箱子有3个白球,2个红球, 第2个箱子有4个白球,4个红球.现从第1个箱子中随机地取1个球放到第2个箱子里,再从第2个箱子中取出1个球,此球是白球的概率为____________.已知上述从第2 个箱子中取 第 3 页 共 86 页 出的球是白球,则从第一个箱子中取出的球是白球的概率为____________. (3)已知连续随机变量X 的概率密度函数为f(x)? ____________. 十一、（本题满分6分） 设随机变量X,Y相互独立,其概率密度函数分别为 fXx)? 1?x?2x?12,则X的数学期望为____________,X的方差为 0?x?1,fY(? e?y y?0, 求Z?2X?Y的概率密度函数. 0其它0y?0 第 4 页 共 86 页 1988年全国硕士研究生入学统一考试 数学(一)试卷 一、(本题共3小题,每小题5分,满分15分) ? (1)求幂级数? n?1 2 (x?3)n3 n n 的收敛域. (2)设f(x)?ex,f[?(x)]?1?x且?(x)?0,求?x及其定义域. (3)设?为曲面x?y?z?1的