瑕积分的性质与收敛判别法.pptVIP

* §3 瑕积分的性质与收敛判别法 一 瑕积分的性质 假设 为函数 的瑕点. 瑕积的柯西收敛准则: 定理11.1 收敛 即 定理11.5 收敛 性质1 若 和 都收敛, 为常数, 则 也收敛, 且 性质1 若 和 都收敛, 为常数, 则 也收敛, 且 性质2 若 在任何有限区间 上可积, 则 与 同时收敛或同时发散, 且有 性质2 若 为 的瑕点, 则 与 同时收敛或同时发散, 且有 性质3 若 在任何有限区间 上可积, 且有 收敛, 则 亦必收敛, 并有 性质3 若 在任何有限区间 上可积, 且有 收敛, 则 亦必收敛, 并有 绝对收敛的瑕积分, 它自身也一定收敛. 但是它的逆命题一般不成立. 称收敛而不绝对收敛者为条件收敛. 二 比较判别法 定理11．2(比较法则) 设定义在 上的两个函数 和 都在任何有限区间 上可积,且满足 则当 收敛时 收敛. (或者,当 发散时, 必发散). 定理11．6(比较法则) 设 同为两个函数 和 的瑕点,且在任何区间 上可积,且满足 则当 收敛时 收敛. (或者,当 发散时, 必发散). 推论1 设 定义于 且在任何有限区间 上可积，则有: (i) 当 且 时 收敛; (ii) 当 且 时 发散. 推论1 设 定义于 且在任何有限区间 上可积，则有: (i) 当 且 时 收敛; (ii) 当 且 时 发散. 比较法则的极限形式 推论2 若 和 都在任何 上可积, 且 则有: (i) 当 时, 与 同敛态; (ii) 当 时，由 收敛可推知 也收敛; (iii) 当 时，由 发散可推知 也发散. 推论2 若 且 则有: (i) 当 时, 与 同敛态; (ii) 当 时，由 收敛可推知 也收敛; (iii) 当 时，由 发散可推知 也发散.