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精品文档 数学分析考研试题集锦 一. 连续性问题 1 ．设f(x)是[a,b]上的连续函数,f(a)0,f(b)0,求证:存在c (a,b),使f(c)=0,且对任何x (c,b], 有f(x)0 ．(华东理工大学2004 年) 二.无穷级数与函数列 1．设在[0,1]上f (x)一致收敛于f(x),且每个f (x)有界，求证： n n (1) 极限函数f(x)在[0,1]上有界； (2) 函数列{f (x)}在[0,1]上一致有界．(华东理工大学2004 年) n 2. 设{f (x)}是定义在(-,+)上的可导函数列,且存在常数M0,对所有的n 和 (-,+),有 n  | f (x) |M, 假设对任意 (-,+),有lim f (x) g(x), 则g(x)在(-,+)上连续. n n n 证明:对任意  (-,+),有 0 | g(x) g(x ) || f (x) g(x) | | f (x) f (x ) | | f (x ) g(x ) | 0 n n n 0 n 0 0 对任意0, 由于对任意 (-,+),有lim f (x) g(x), 所以存在正整数N, 当nN 时,有 n n   | f (x) g(x) | ,| f (x ) g(x ) | , n 3 n 0 0 3 由微分中值定理,  | f (x) f (x ) || f () || xx |M | xx | n n 0 n 0 0   其中在 与 之间,故取  , 当|x- |时,有| f (x) f (x ) | , 故当|x- |时 0 3M 0 n n 0 3 0  | g(x) g(x ) | . 即f(x)在 连续, 由 的任意性,知f(x)在(-,+)上连续. 0 0 0 三．连续性 １．设Ｉ为一区间，f(x)在Ｉ上一致连续，若对任意 I,f(x)0,试证： f (x)在Ｉ上一致连 续．(华东理工大学200 ６年) 四．定积分 1 1  2 x (1x )e dx １． x