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约束优化方法 一、非线性约束优化模型 Nonlinear Programming（NP） min f (x) s.t ?h j ? g ? i ( ( x) x) ? ? 0，j 0，i ? ? 1,2 , ? 1,2 , ? J I h (x)，g (x)至少有一个为 其中， j 非线性函数. i X {x ? h j g i ( ( x) x) ? ? 0，j 0，i ? ? 1,2 , ? 1,2 , ? J I } 约束集、约束域或可行域 优化策略：构造迭代序列 x ? ? x ?? p k 1 k k k 满足（1）f (xk ?? pk ) ? f (xk ) （2）xk ?? pk ? X k k 二、方法特征与评价 （1）消去法 若 ? 0, x ? y x i i e i 无约束 ?h (x , , x ) ? j 1 n ? j 1, 2, ,J ? ? ? ? 0 ? ? ? ? ? x ? ? h (x , x )? ?x ? ? h (x , x )? 1 1 m 1 n ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? x ( ) ?m h x , x ? ? ? ? m m 1 n min f (x) 则 无约束优化问题 min F(x?) n n-m x? ? X R x? ? R 评价： 期望指数： 可行性： （2）网格法、随机实验法 按照某种方式产生测试点，然后比较目标函数值， 验证约束条件。 z 评价： 可行性： ? ? z ? f x,y 精确性： y 0 算法收敛性 x Motivational Problem: “Maximize the following “peaks” function” ? ? z ? f x,y ?x ? y? ? x ? ?x ?y ? x? ?y 2 1 3 5 1 1 2 2 ? ? 2 ? ? 2 2 ? ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? 3 1 x e 10 x y e e ? 5 ? 3 Derivatives of the “peaks” function ? dz/dx = -6*(1-x)*exp(-x^2-(y+1)^2) - 6*(1-x)^2*x*exp(- x^2-(y+1)^2) - 10*(1/5-3*x^2)*exp(-x^2-y^2) + 20*(1/5*x-x^3-y^5)*x*exp(-x^2-y^2) - 1/3*(-2*x-2)*exp(- (x+1)^2-y^2) ? dz/dy = 3*(1-x)^2*(-2*y-2)*exp(-x^2-(y+1)^2) + 50*y^4*exp(-x^2-y^2) + 20*(1/5*x-x^3-y^5)*y*exp(-x^2- y^2) + 2/3*y*exp(-(x+1)^2-y^2) ? d(dz/dx)/dx = 36*x*exp(-x^2-(y+1)^2) - 18*x^2*exp(-x^2- (y+1)^2) - 24*x^3*exp(-x^2-(y+1)^2) + 12*x^4*exp(-x^2- (y+1)^2) + 72*x*exp(-x^2-y^2) - 148*x^3*exp(-x^2-y^2) - 20*y^5*exp(-x^2-y^2) + 40*x^5*exp(-x^2-y^2) + 40*x^2*exp(-x^2-y^2)*y^5 -2/3*exp(-(x+1)^2-y^2) - 4/3*exp(-(x+1)^2-y^2)*x^2 -8/3*exp(-(x+1)^2-y^2)*x ? d(dz/dy)/dy = -6*(1-x)^2*exp(-x^2-(y+1)^2) + 3*(1- x)^2*(-2*y-2)^2*exp(-x^2-(y+1)^2) + 200*y^3*exp(-x^2- y^2)-200*y^5*exp(-x^2-y^2) + 20*(1/5*x-x^3-y^5)*exp(- x^2-y^2) - 40*(1/5*x-x^3-y^5)*y^2*exp(-x^2-y^2) + 2/3*exp(-(x+1)^2-y^2)-4/3*y^2*exp(-(x+1)^2-y^2) ? An analytic solution is not easily found in a reasonable time span. Genetic Algorithms 0 GA: Operators Example Apply a Genetic Algorithm GA process: Start with multiple feasible solutions and apply GA repeatedly t