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九年级数学综合性压轴题 (第1题图) 1．如图，抛物线y＝eq \f(1,2)x2＋bx＋c与y轴交于点C(0，－4)，与x轴交于点A，B，且B点的坐标为(2，0)． (1)求该抛物线的表达式． (2)若点P是AB上的一动点，过点P作PE∥AC，交BC于E，连结CP，求△PCE面积的最大值． (3)若点D为OA的中点，点M是线段AC上一点，且△OMD为等腰三角形，求M点的坐标． 解：(1)把点C(0，－4)，B(2，0)的坐标分别代入y＝eq \f(1,2)x2＋bx＋c中，得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(c＝－4，,\f(1,2)×22＋2b＋c＝0，)) 解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝1，,c＝－4.)) ∴该抛物线的表达式为y＝eq \f(1,2)x2＋x－4. (2)令y＝0，即eq \f(1,2)x2＋x－4＝0，解得x1＝－4，x2＝2， ∴点A(－4，0)，S△ABC＝eq \f(1,2)AB·OC＝12. 设点P的坐标为(x，0)，则PB＝2－x. ∵PE∥AC， ∴∠BPE＝∠BAC，∠BEP＝∠BCA， ∴△PBE∽△ABC. ∴eq \f(S△PBE,S△ABC)＝(eq \f(PB,AB))2，即eq \f(S△PBE,12)＝(eq \f(2－x,6))2， 化简，得S△PBE＝eq \f(1,3)(2－x)2. S△PCE＝S△PCB－S△PBE ＝eq \f(1,2)PB·OC－S△PBE ＝eq \f(1,2)·(2－x)·4－eq \f(1,3)(2－x)2 ＝－eq \f(1,3)x2－eq \f(2,3)x＋eq \f(8,3) ＝－eq \f(1,3)(x＋1)2＋3， ∴当x＝－1时，S△PCE的最大值为3. (3)△OMD为等腰三角形，可能有三种情形： (Ⅰ)当DM＝DO时，如解图①所示． DO＝DM＝DA＝2， ∴∠OAC＝∠AMD＝45°， ∴∠ADM＝90°， ∴点M的坐标为(－2，－2)． 　,(第1题图解)) (Ⅱ)当MD＝MO时，如解图②所示． 过点M作MN⊥OD于点N，则点N为OD的中点， ∴DN＝ON＝1，AN＝AD＋DN＝3， 又∵△AMN为等腰直角三角形，∴MN＝AN＝3， ∴点M的坐标为(－1，－3)． (Ⅲ)当OD＝OM时， ∵△OAC为等腰直角三角形， ∴点O到AC的距离为eq \f(\r(2),2)×4＝2eq \r(2)，即AC上的点与点O之间的最小距离为2eq \r(2). ∵2eq \r(2)＞2，∴OD＝OM的情况不存在． 综上所述，点M的坐标为(－2，－2)或(－1，－3)． (第2题图) 2．如图，抛物线y＝－eq \f(1,2)x2＋mx＋n与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知点A(－1，0)，C(0，2)． (1)求抛物线的表达式． (2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． (3)点E时线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时点E的坐标． 解：(1)∵抛物线y＝－eq \f(1,2)x2＋mx＋n经过点A(－1，0)，C(0，2)， ∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)－m＋n＝0，,n＝2，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝\f(3,2)，,n＝2.)) ∴抛物线的表达式为y＝－eq \f(1,2)x2＋eq \f(3,2)x＋2. (2)∵y＝－eq \f(1,2)x2＋eq \f(3,2)x＋2，∴y＝－eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))eq \s\up12(2)＋eq \f(25,8)，∴抛物线的对称轴是直线x＝eq \f(3,2).∴OD＝eq \f(3,2). ∵点C(0，2)，∴OC＝2. 在Rt△OCD中，由勾股定理，得CD＝eq \f(5,2). ∵△CDP是以CD为腰的等腰三角形，如解图①，分别以C，D为圆心，CD长为半径画圆交对称轴于点P1，P2，P3， ∴CP1＝DP2＝DP3＝CD. 作CH⊥x轴于H，∴HP1＝HD＝2，∴DP1＝4. ∴点P1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，4))，P2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(5,2)))，P3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，－\f(5,2)