高等代数知识点总结（可直接使用）.pptVIP

分块矩阵的初等变换和Schur公式 把初等变换和初等矩阵的思想用到分块矩阵 Schur公式 设A可逆 两种常用方法 适用例子: 习题3.7.5; 3.7.9~11: 演示课件 2.正则化方法 证明当A可逆时结论成立 考虑xI+A,有无穷多个x使得该矩阵可逆 将要证明的结论归结为多项式的相等 若两个多项式在无穷多个点处的值相同,则这两个多项式在任意点的值相等,特别地,取x=0. 适用例子: 习题3.6.4; 3.7.7; 3.7.11: 演示课件 特殊矩阵 演示课件 向量 演示课件 线性表示： 列向量组?1,...,?r可由?1,...,?s线性表示当且仅当有矩阵C使得(?1,...,?r)=(?1,...,?s)C. 进一步，C的第k列恰为?k的表示系数 线性表示有传递性 被表示者的秩数≤表示者的秩数 向量组等价： 对于向量组S，T，下列条件等价 S和T等价，即S,T可以互相表示 S,T的极大无关组等价 S,T的秩数相等，且其中之一可由另一表示 演示课件 线性相关与线性表示： ?1,...,?r线性相关当且仅当其中之一可由其余的线性表示 若?,?1,...,?r线性相关,而?1,...,?r线性无关,则?可由?1,...,?r线性表示,且表法唯一 线性无关：对于向量组?1,...,?r下列条件等价 ?1,...,?r线性无关 当c1,...,cr不全为0时，必有c1?1+...+cr?r?0 当c1?1+...+cr?r＝0时，必有c1＝...＝cr＝0 ?1,...,?r的秩数等于r (?1,...,?r)是列满秩矩阵 演示课件 极大无关组与秩数： ?1,...,?r?S是S的一个极大无关组当且仅当 ?1,...,?r线性无关 S的每个向量都可由?1,...,?r线性表示 秩S＝极大无关组中向量的个数 若秩S＝r,则任何r个无关的向量都是极大无关组 矩阵的秩数＝行向量组的秩数＝列向量组的秩数 向量组 向量空间 解空间 极大无关组 基底 基础解系 秩数 维数 n － r 演示课件 演示课件 演示课件 演示课件 演示课件 演示课件 演示课件 演示课件 演示课件 演示课件 演示课件 总结 计算 演示课件 演示课件 基本概念： 次数：最基本的概念和工具 整除：多项式之间最基本的关系 带余除法：最基本的算法，判断整除. 最大公因式：描述多项式之间关系的复杂程度 互素：多项式之间关系最简单的情形 既约多项式：最基本的多项式 根：最重要的概念和工具 一元多项式 演示课件 重要结论： 带余除法定理 对于任意多项式f(x)和非零多项式g(x)，有唯一的q(x)和r(x)使得 f(x)=g(x)q(x)+r(x)，r(x)=0或degr(x)degg(x). 最大公因式的存在和表示定理 任意两个不全为0的多项式都有最大公因式，且对于任意的最大公因式d(x)都有u(x)和v(x)使得 d(x)=f(x)u(x)+g(x)v(x) 互素 f(x)和g(x)互素?有u(x)和v(x)使得 f(x)u(x)+g(x)v(x)=1. 演示课件 因式分解唯一定理 次数大于1的多项式都可分解成有限个既约多项式之积，且不计因子次序和常数因子倍时，分解唯一. 标准分解定理 每个次数大于1的多项式f都有如下的标准分解 其中a是非零常数, p1,…,pt, 是互不相同的首一既约多项式, n1,…,nt是正整数. 进一步,a, p1,…,pt,n1,…,nt由f唯一确定. 重因式 f无重因式当且仅当f与其导式互素. 演示课件 代数学基本定理： 下列陈述等价， 复数域上次数≥1的多项式总有根 复数域上的n次多项式恰有n个根 复数域上的既约多项式恰为一次式 复数域上次数≥1的多项式可分解成一次式之积. 实数域上的次数＞1的既约多项式只有无实根的二次式 实数域上次数≥1的多项式可分解成一次式和二次式之积 演示课件 实数域上的标准分解定理 在实数域上，每个次数大于1的多项式f都有如下的标准分解 其中a是f的常数项, x1,…,xt 是f全不互不相同的根, p1,…,pt是互异、首一、无实根的二次式. 复数域上的标准分解定理 在复数域上，每个次数大于1的多项式f都有如下的标准分解 其中a是f的常数项, x1,…,xt 是f全部互不相同的根, n1,…,nt分别是这些根的重数. 演示课件 多项式作为函数： 两个多项式相等(即对应系数相同) ?它们作为函数相等(即在每点的函数值相等) ?它们在k+1个点的函数值相等，这里k是它们次数的最大者. 设f(x)＝anxn+...+a1x+a0，若f(x)在n+1个点的函数值为0，则f(x)恒等于0. 演示课件 Eisenstein判别法： 设