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趣味棋子游戏中的数学 朋友，你可玩过游戏么？你可知道身边熟悉的游戏也许都蕴涵着数学知识？今天让我们来领略一下两个有趣棋子游戏中的数学. 一．取棋子游戏 游戏规则： 　　（1）取一堆棋子，一共13枚； 　　（2）每次游戏双方轮流从中取走1至5枚棋子； （3）谁取最后1枚棋子谁输。 如果有人邀请你做这个游戏可要留心了，因为这个看似简单的游戏其实暗藏玄机，不了解的人必输无疑。 那么让我们来分析一下这个游戏 首先采取逆推法，观察当剩下一定数量的棋子，对于取者是有利还是不利。由游戏规则可得 （1）当只有1枚棋子的时候，显然取者必输； （2）当有2至6枚棋子时，取者可以对应取走1至5枚棋子从而只剩下1枚给对手，获得胜利 （3）当有7枚棋子的时候，取者无论取走1至5枚中的任何一个数都会使棋子堆中剩下2至6枚棋子，从而对手就可以根据（2）获胜，取者失败 （4）当有8至12枚棋子的时候取者只要对应取走1至5枚棋子即可使棋子堆中剩下7枚棋子由对手来取，从而根据（3）对手必败，取者获胜 （5）当有13枚棋子的时候，无论取者取多少都将进入剩下8至12枚棋子的情况，从而对手将根据（4）获胜，取者失败。 也就是说，这个游戏中后取者一方得胜的几率是100%。假如你不幸先取，那就没有任何可能胜利。 同时研究以上（1）至（5）的情况，我们会发现，只有当棋子堆中剩下1枚，7枚，13枚时，先取者是会失败的。这有什么规律呢？经过观察可以发现 1＝1＋0*6 　　 7＝1＋1*6 　　　13＝1＋2*6 由此我们可以将这个游戏中的总棋子数推广到M，设有M个硬币每次游戏双方轮流从中取走1至5枚硬币；谁取最后1枚硬币谁输。 则当M＝1＋6n 即 6除M的余数为1时，后取者必定胜利。 那么为什么是6这个数呢，经过观察，我们可以发现因为6＝1＋5 是“一个玩家每次可以取的最大枚数”＋1 于是这个游戏中的数据可以继续推广，设有M个硬币，每次游戏双方轮流从中取走1至a枚硬币；谁取最后1枚硬币谁输。 当M＝1＋（1＋a）n时后取者必胜 我们可以对该公式进行验证 假设该游戏进行了n个回合后结束 先取者每轮从硬币堆中取走x个硬币（1≤x≤a） 则后取者可以选择取走（1＋a－x）个硬币 那么硬币堆每回合都会减少1＋a个硬币，第n回合结束后，将只剩下1枚硬币，因为此时由先取者取硬币，先取者就输了。 利用这条公式我们可以构造出许多类似的数据进行游戏如 当有65枚硬币，每次游戏双方轮流从中取走1至7枚硬币则先取者必输 当有82枚硬币，每次游戏双方轮流从中取走1至8枚硬币则先取者必输 当有101枚硬币 ，每次游戏双方轮流从中取走1至9枚硬币则先取者必输 诸如此类………… 二．翻棋子游戏 游戏规则： （1）有一个2*2棋盘，棋盘上每个格子上都有一枚棋子 （2）两个人进行该游戏，每回合里轮回行动，其中一人可以决定选择翻转某两枚或者一枚棋子，接着另一人可以选择将棋盘旋转90，180或者270度，或什么都不做。 （3）游戏轮流进行到所有棋子同面向上翻棋者胜 （4）选择翻棋子的人在游戏过程中无法看到棋盘上的棋子 这个游戏看似复杂，让人望而生畏，其实是有迹可寻的，首先我们采取穷举法列出所有初始情况如下（H代表正面，T代表反面） 1和4上下对称，实际属于一种状态。这样就只有1、2、3三种初始状态了。 目标是，经过数次翻转棋子，使得所有的状态都能达到全上或者全下的情形。 1. 任一对角线翻转（这里的翻转指的是上面的每个棋子都翻个个，下同）这一步做完后，便出现如下情形： 状态（1）不变，因为它要么变成对称，要么旋转角度。 状态（2）也不变，只是旋转了一下角度而已。 状态（3）直接变成全上或全下了，OK，属于提前完成任务，丢弃。 2. 任一条边翻转 长话短说，状态（1）依然不变，因为除了变角度就是变成对称。 状态（2）分两种情况。一种是直接胜利，丢弃。另一种是变成状态（3）。 3. 任一对角线翻转 状态（1）仍然不变，状态（3）直接走向胜利。 4. 任一个硬币翻转 这一步的目的是让状态（1）变成状态（2）或者状态（3）。这样，后续的步骤就和前面一样了。 5. 任一对角线翻转 6. 任一条边翻转 7. 任一对角线翻转 这个方法分成两部分，前三步和后三步。前三步处理棋盘上有偶数颗正面朝上的棋子的情况。第四步把奇数颗正面朝上的情况转化成偶数颗正面朝上的棋子，然后重复使用前三步的策略即可。 这个方法可以直接推广到的情况： 在给出方法前，先定义棋子状态为0如果正面朝上，为1若正面朝下。若干个状态的XOR和指状态的和除以