随机变量的数学期望41.pptxVIP

2010年9月～12月概率论与数理统计江汉大学文理学院数学教研室 梁幼鸣wululym@163.com027HomeMobil）第四章随机变量的数字特征§1 随机变量的数学期望退出知识点、考点举要一．基本概念与基本结论随机变量的数学期望六个常用随机变量的数学期望二．基础算法与重要演算性质离散型随机变量数学期望的求法连续型随机变量数学期望的求法随机变量函数的数学期望的求法数学期望的算子演算性质退出§1 随机变量的数学期望数学期望的定性与定量定义一随机变量函数的数学期望及其一般算法二 三数学期望的算子演算性质四范例、思考与练习退出一、数学期望的定性与定量定义1. 定性定义 随机变量 X 的平均取值称为其数学期望, 记为随机变量X 对其平均取值以偏差平方的形式所给出的平均亦即 波动，称为 X 的方差，记为 方差实际上也是一种数学期望，是随机变量减其数学 期望的平方的数学期望. 用较为专业的术语讲，它是随机变量的函数的数学期望. 因此，求随机变量平均取值以及随机变量对其平均取值以偏差平方形式给出的平均波动问题，从本质上而言，归根结底就是如何求随机变量及其函数的数学期望问题.退出返回一、数学期望的定性与定量定义平均值可以怎样算？ 假设在 n 个考试成绩中， xi 分的有mi个 ( i = 1, 2,??? , k), 那么全部考分的平均分 = ?x1m1 + … + xkmk平均分 =n 上式表明，将各种不同考分 xi ( i = 1, 2,??? , k)与其在全体考生中所占的百分比 fi相乘后再相加 结果就是全部考分的平均分 ！退出一、数学期望的定性与定量定义2. 随机变量数学期望 E ( X ) 的定量算法⑴ 对离散型变量或⑵ 对连续型变量或【对连续变量求算公式的简短解释】依概率密度的含义，连续随机变量在长为 dx 的区间上近似取值 x 的概率应等于因此，该随机变量在整个实轴上的平均取值就应等于前二者之乘积在整个实轴上的全部累加之和，即应等于其在实轴上的积分类似地可解释其还等于在整个平面上的重积分.退出返回二、随机变量函数的数学期望及其一般算法3. 六大常见分布的数学期望与分布参数的关系运用数学期望 的定量算法可以证实六大常见分布的数学期望与分布参数的关系如下表所示分布符号数学期望E ( X )备注B ( 1, p )p0-1分布B ( n, p )n p二项分布P ( ? )?迫松分布均匀分布E ( λ )1 /λ指数分布N ( ? ,? 2 )?正态分布退出返回二、随机变量函数的数学期望及其一般算法*1. 随机变量的常见函数、数学期望及其名称⑴ k 阶原点矩⑵ k 阶中心矩 ⑶ k + l 阶混合原点矩 ⑷ k + l 阶混合中心矩 【例如】 X 的一阶原点矩恰是 X 自身的数学期望. X 的二阶原点矩是 X 平方的数学期望. X 的二阶混合原点矩是 X 与Y 乘积的数学期望. X 的二阶中心矩是 X 减其数学期望的平方的数学期望. X 的1+1阶混合中心矩是 X 与Y 与各自数学期望之差的乘积的数学期望.退出返回当 X 是离散型变量且一维分布律为 时当 X 是连续型变量且其一维概率密度为 时当 (X, Y ) 是离散型变量且二维分布律为 时当 (X, Y )是连续型变量且二维联合概率密度为 时二、随机变量函数的数学期望及其一般算法2. 函数数学期望的一般算法 定理一 设一元函数 g (x) 连续，则 定理二 设二元函数 g (x , y) 连续，则退出返回三、数学期望的算子演算性质( 设 C 是常数 )1)2)又当 X，Y 相互独立时3)4)若X，Y 相互独立, 则【选证】退出返回三、数学期望的算子演算性质例3-1 设 X, Y , Z 相互独立, E( X ) = 5, E( Y ) = 11, E( Z ) = 8. 试求随机变量 U = 2X + 3Y + 1 与V =YZ－4X 的数学期望. 解∵ Y , Z 相互独立, , ∴退出返回四、范例、思考与练习 例4 -1 已知 X 的分布律如下表所示，试求 E ( X )， E ( X 2 ) 和 E ( 2X－3X 2 ).X2349Pi1/85/81/81/8解退出返回四、范例、思考与练习 例4-2 已知 (X ,Y )的联合分布律如右表所示. 求 E( X ), E ( Y ) , E ( XY ) 和 E ( X＋Y ) . X Y01200.10.3解显然，一般地讲退出返回四、范例、思考与练习例4-3