数学物理方程 很好的学习教材 .pptVIP

二、球贝塞尔函数的应用 本章小结 对称柱面问题可以分离出贝塞尔方程的本征问题; 贝塞尔本征问题本征函数为柱函数，本征值由有界或齐次边界条件确定; 典型的柱函数有贝塞尔函数和诺伊曼函数，它们的对称性质、递推性质、渐近性质和零点分布等对于柱面问题的求解有重要作用。 复习要点 熟练掌握三种常见数学物理方程的分离变数（傅里叶级数）法； 掌握勒让德函数、连带勒让德函数的前几项、递推公式、广义傅里叶级数等基本性质，并能熟练运用； 掌握贝塞尔函数的基本性质，并能够运用它求解稳定场方程的定解问题。 例题1：两端自由的棒的纵振动 写出定解问题的方程： 分离变数： 求解本征值问题： 求解时间方程： 代入初始条件，确定系数： 于是，我们共得到三类贝塞尔方程： 贝塞尔方程 虚宗量贝塞尔方程 球贝塞尔方程 这三类贝塞尔方程的解是什么呢？ §11.1 三类柱函数 三类柱函数 柱函数的基本性质 一、柱函数的图象 诺伊曼函数的图象 二、柱函数的渐近性质 x → 0 时的行为： x → ∞ 时的行为： 三、柱函数的递推公式 基本递推公式： 推论二： 推论一： 递推公式的证明 k=l+1 递推公式的应用 例题1： 贝塞尔函数的积分最终可以化成关于 J0的积分；当 n + m 为奇数时，可以 积分出来。 §11.2 贝塞尔方程 贝塞尔函数与本征值问题 贝塞尔函数的正交性、完备性 正交性 模 傅里叶－贝塞尔级数 贝塞尔函数应用 一、贝塞尔函数与本征值问题 贝塞尔函数的零点 正负成对； 贝塞尔函数有无限 多个零点； n 阶贝塞尔函数两 个相邻零点之间必 有n+1 阶贝塞尔函 数的一个零点。 二、贝塞尔函数的模、正交性和完备性 贝塞尔函数的模 正交性：不同本征值的同阶贝塞尔函数正交 完备性（傅里叶-贝塞尔级数） 例1： 把函数 f =ρ2 在[0,b] 区间用0阶贝塞尔函数展开。 三、贝塞尔函数的应用 §11.3 虚宗量贝塞尔方程 一、虚宗量贝塞尔（汉克尔）函数的性质 1） 虚宗量贝塞尔（汉克尔）函数的图像 2） 虚宗量贝塞尔函数的渐进行为： 2） 虚宗量贝塞尔函数的渐进行为： 2） 虚宗量贝塞尔函数的渐进行为： 二、贝塞尔函数的应用 §11.4 球贝塞尔方程 一、球贝塞尔(诺伊曼、汉克尔)函数的性质 递推公式 递推公式的证明 递推公式的应用 勒让德多项式模的计算 二、拉普拉斯方程的轴对称定解问题 §10.2 连带勒让德函数 在m≠0情况下，勒让德方程变为连带勒让德方程 这个方程如何求解呢？ 代入到连带勒让德方程中，得到关于y的微分方程 这个方程与把勒让德方程逐项求导m次得到的结果一致。 因此，它的解就是勒让德方程的解P(x)的m阶导数， 一、连带勒让德函数的性质 1. 前几项 2. 一般表示 微分表示 积分表示 称为罗德里格斯公式，当l-m=2n时，为偶函数； 当l-m=2n+1时，为奇函数。 称为施列夫利积分 3. 连带勒让德多项式的模和正交关系 4. 广义傅里叶级数 5. 连带勒让德函数的递推公式 递推公式的证明 二、连带勒让德函数的应用 例题4：半径为a的球面上电势分布为 f = Asin2θcosφsinφ， 确定球内空间的电势 u 。 解： §10.3 一般的球函数 球函数的概念 球函数的性质 球函数的归一化 球函数的应用 一、球函数的概念 二、球函数的前几项 三、球函数的性质 对称性 正交性 球面上函数的广义傅里叶级数 四、球函数的归一化 归一化的球函数 正交性 完备性 五、球函数的应用 例题1：半径为a的球面上电势分布为 f = Asin2θcos2φ，确定 球内空间的电势 u 。 解： 非对称稳定问题的求解 本 章 小 结 一般球面边界稳定问题的半通解为 转动对称球面边界稳定问题的半通解为 轴对称球面边界稳定问题的半通解为 Chap. 11 柱函数 柱函数的基本性质 贝塞尔方程 虚宗量贝塞尔方程 球贝塞尔方程 本章小结 柱坐标系下的拉普拉斯方程 柱坐标系 柱坐标系下拉普拉斯方程的求解 Z、R常微分方程的求解 解关于T的常微分方程，得： 最后得到所求的解： 解法2：（冲量定理法） 则原定解问题变为求解v的定解问题： 运用分离变量法或者傅里叶级数法均可求解， 最后，得到与解法一相同的结果。（过程略） §8.3 非齐次边界条件的处理 运用分离变数法、傅里叶级数法或冲量定理法求解的定解问题只是齐次边界条件问题。 在实际问题中，常常有非齐次边界条件出现，这样的问题又如何求解呢？能不能运用我们学过的这几个方法求解呢？ 方法：利用叠加原理，把非齐次边界条件问题转化为另一个未知函数