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? 全等三角形中辅助线的添加 一.教学内容：全等三角形的常见辅助线的添加方法、基本图形的性质的掌握及熟练应用。 二．知识要点： 1、添加辅助线的方法和语言表述 作线段：连接……； 作平行线：过点……作……∥……； 作垂线（作高）：过点……作……⊥……，垂足为……； 作中线：取……中点……，连接……； 延长并截取线段：延长……使……等于……； 截取等长线段：在……上截取……，使……等于……； 作角平分线：作……平分……；作角……等于已知角……； 作一个角等于已知角：作角……等于……。 2、全等三角形中的基本图形的构造与运用 常用的辅助线的添加方法： 倍长中线（或类中线）法：若遇到三角形的中线或类中线（与中点有关的线段），通常考虑倍长中线或类 中线，构造全等三角形。 截长补短法：若遇到证明线段的和差倍分关系时，通常考虑截长补短法，构造全等三角形。①截长：在较 长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条；②补短：将一条较短线段延长，延长 部分等于另一条较短线段，然后证明新线段等于较长线段；或延长一条较短线段等于较长线段，然后证明延长 部分等于另一条较短线段。 一线三等角问题（“K”字图、弦图、三垂图）：两个全等的直角三角形的斜边恰好是一个等腰直角三角 形的直角边。 角平分线、中垂线法：以角平分线、中垂线为对称轴利用”轴对称性“构造全等三角形。 角含半角、等腰三角形的（绕顶点、绕斜边中点）旋转重合法：用旋转构造三角形全等。 构造特殊三角形：主要是 30°、60°、90°、等腰直角三角形(用平移、对称和弦图也可以构造)和等边 三角形的特殊三角形来构造全等三角形。 三、基本模型： （1） A ?  B  D  C △ABC 中 AD 是 BC 边中线 A B  D  C E 方式 1： 延长 AD 到 E，使 DE=AD，连接 BE 1 A B  F D  C E 方式 2：间接倍长，作 CF⊥AD 于 F，作 BE⊥AD 的延长线于 E，连接 BE A M B D  C N 方式 3： 延长 MD 到 N，使 DN=MD，连接 CD （2） 由△ABE≌△BCD 导出  由△ABE≌△BCD 导出  由△ABE≌△BCD 导出 BC=BE+ED=AB+CD ED=AE-CD EC=AB-CD （3）角分线，分两边，对称全等要记全 角分线+垂线，等腰三角形必呈现（三线合一） （4） 2 ①旋转： 方法：延长其中一个补角的线段（延长 CD 到 E，使 ED=BM ，连 AE 或延长 CB 到 F，使 FB=DN ，连 AF  ） 结论：①MN=BM+DN ② C  ?CMN ?2 AB  ③AM、AN 分别平分∠BMN 和∠DNM ②翻折： 思路:分别将△ABM 和△ADN 以 AM 和 AN  为对称轴翻折，但一定要证明  M、P、N 三点共线.（∠B+∠D=  180  0  且 AB=AD） （5）手拉手模型 ①△ABE 和△ACF 均为等边三角形 结论：（1）△ABF≌△AEC；（2）∠B0E=∠BAE=60°（“八字型”模型证明）；（3）OA 平分∠EOF 拓展： 3 条件：△ABC 和△CDE 均为等边三角形 结论：（1）、AD=BE （2）、∠ACB=∠AOB （3）、△PCQ 为等边三角形 （4）、PQ∥AE （5）、AP=BQ （6）、CO 平分∠AOE （7）、OA=OB+OC （8）、OE=OC+OD （（7），（8）需构造等边三角形证明） ②△ABD 和△ACE 均为等腰直角三角形 结论：（1）、BE=CD （2）BE⊥CD ③ABEF 和 ACHD 均为正方形 结论：（1）、BD⊥CF （2）、BD=CF 变形一：ABEF 和 ACHD 均为正方形，AS⊥BC 交 FD 于 T， 求证：①T 为 FD 的中点. ② S  ?ABC ?S  ?ADF . 方法一： 方法二： 4 ? ? 方法三： 变形二：ABEF 和 ACHD 均为正方形，M 为 FD 的中点，求证：AN⊥BC ④当以 AB、AC 为边构造正多边形时，总有：∠1=∠2=  180 ?  360 n  ?  . H  G  P  F E  J  I  1  H  P  G  F I  A  D  K 2  A  E B  C  B  C  D 5 四、典型例题： ? 考点一：倍长中线（或类中线）法： ? 核心母题 已知，如图△ABC 中，AB=5，AC=3，则中线 AD 的取值范围是_________. A B  D  C 练习： 1、如图，△ABC 中，E、F 分别在 AB、AC 上，DE⊥DF，D 是中点，试比较 BE