实变函数测试题1-参考答案.docVIP

实变函数测试题1 本试题参考答案由08统计班15号 李维提供 有问题联1、设 。 2、证明：为上连续函数的充分必要条件是对任意实数，集和都是闭集。 3、设是任意可测集，则一定存在可测集型集，使得,且 4、设，可测，且，若，则皆可测。 5、写出鲁津定理及其逆定理。并证明鲁津定理的逆定理。 6、设是上的可测函数，为开集，为闭集，试问与 是否是可测集，为什么？ 7、设在Cantor集上定义函数=0，而在的余集中长为的构成区间上定义为（）,试证可积分，并求出积分值。 8、设为上非负可积函数列，若则。 9、设是上a.e. 有限的可测函数，。试证明对，存在上a.e. 有界的可测函数，使得 。 10、求证 , 。 解答： 解：；设，则存在N，使，因此时，，即，所以x属于下标比N大的一切偶指标集，从而x属于无限多，得又显然，所以。 ；若有，则存在A，使任意,有。因此若时，，即.令得，此不可能，所以。 2．证明：必要性：若是上连续函数，由第二章习题8可知和是闭集。 充分性：若和E都是闭集。若有，在点不连续。则存在，或，不妨设出现第一种情况。令，则，而（因为），此与是闭集相矛盾。所以在上是连续的。证毕。 3．由外侧度定义，对任意正整数，存在开集,使，令，则为型集，且 故。证毕。 4．证明：先证可测：存在型集使得。令。.。因为,,即,又,所以,所以.，所以 ,因为可测，可测，所以可测。同理可证可测。证毕。 5．鲁津定理：设是上a.e.有限的可测函数，则对任意，存在闭子集，使在上是连续函数，且. 逆定理：设是上的函数，对，总存在闭子集，使得在上是连续函数，且，则，是上a.e.有限的可测函数。 证明：对任意，存在闭子集,使在上连续且,令，则对任意，有。令，得。对任意实数a， ，由在上连续，可知可测，而，所以也可测，从而是可测的。因此是可测的。因为在上有限，故在上有限，所以a.e.有限。证毕。 6.由已知 则开集可写成直线上可列个开集的并集，即，，则可知是可测集。 由，则可知也是可测集。证毕。 7．f(x)是非负可测函数，因而积分确定，只要证明积分有限即可。设是的余集中长为的构成区间之并，则，因此，所以可积，且积分值为3。证毕。 8．对任意，由于非负可知： ，即证毕。 9．因为是上的a.e.有限的可测函数，设，，令故有 所以，故，使得 令g(x)= 故。证毕。 10.由于当 证毕。 08统计班15号 李维