专题01 嵌套函数问题（解析版）.doc免费

专题01 嵌套函数问题 嵌套函数，就是指在某些情况下，您可能需要将某函数作为另一函数的参数使用，这一函数就是嵌套函数.一般地，对于定义在区间上的函数（1）若存在,使得,则称是函数的一阶不动点,简称不动点；（2）若存在,使,则称是函数的二阶不动点,简称稳定点. 类型一 嵌套函数中不动点稳定点问题 典例1 ，. （1）求证：； （2）若，且，求实数的取值范围； （3）若是上的单调递增函数，是函数的稳定点，问是函数的不动点吗？ 若是，请证明你的结论；若不是，请说明的理由. 【答案】（1）见解析（2）（3）是 【解析】解：（1）若，则显然成立；若，设， ，，故. （2）有实根，.又，所以， 即的左边有因式， 从而有. ，要么没有实根，要么实根是方程的根. 若没有实根，则； 若有实根且实根是方程的根，则由方， 得，代入，有.由此解得， 再代入得，由此，故a的取值范围是. （3）由题意：x0是函数的稳定点, 则， ① 若，是R上的单调增函数， 则，所以，矛盾. ② 若，是R上的单调增函数，则，所以，矛盾 故， 所以x0是函数的不动点. 类型二 嵌套函数中零点个数问题 典例2若函数有极值点，，且，则关于的方程的不同实根的个数是学_科网 【答案】3 【解析】函数有极值点，，说明方程的两根为，，∴方程的解为或，若，即是极大值点，是极小值点，由于，∴是极大值，有两解，，只有一解，∴此时只有解，若，即是极小值点，是极大值点，由于，∴是极小值，有解，，只有一解，∴此时只有解. 类型三 嵌套函数中参数问题 典例3 已知函数 .若函数有个零点，则实数的取值范围是________. 【答案】 【解析】令 当时有两个零点，需 当时有三个零点， ， 所以函数有5个零点，舍； 当时，由于 所以 ，且 ，所以 综上实数的取值范围是 【名师指点】求解复合方程问题时，往往把方程分解为和处理，先从方程中求，再带入方程中求的值． 1. 设函数（，为自然对数的底数），若曲线上存在点，使成立，则的取值范围是__________ 【答案】 【解析】由题意可得 y0=sinx0∈[-1，1]，f（y0）=ey0+y0-a，∵曲线y=sinx上存在点（x0，y0）使得f（f（y0））=y0，∴存在y0∈[0，1]，使f（y0）=y0成立，即f（x）=x在[0，1]上有解，即 ex+x-x2=a 在[0，1]上有解．令g（x）=ex+x-x2，则a为g（x）在[0，1]上的值域．∵当x∈[0，1]时，g′（x）=ex+1-2x＞0，故函数g（x）在[0，1]上是增函数，故g（0）≤g（x）≤g（1），即1≤a≤e，故答案为：[1，e]． 2．已知函数是定义域为的偶函数. 当时，，若关于的方程（）,有且仅有6个不同实数根，则实数的取值范围是 【答案】 【解析】作出的图象如下，又∵函数是定义域为的偶函数， 且关于的方程，有且仅有个不同实数根， ∴的两根分别为，或，， 由韦达定理可得，若，则，即， 若，，则，即，从而可知或； 3．已知a，b是实数，1和是函数的两个极值点． （1）求a和b的值； （2）设函数的导函数，求的极值点； （3）设，其中，求函数的零点个数． 【答案】(1) a＝0，b＝－3. (2) －2. (3) 9． 【解析】解：(1)由题设知f′(x)＝3x2＋2ax＋b，且f′(－1)＝3－2a＋b＝0，f′(1)＝3＋2a＋b＝0， 解得a＝0，b＝－3. (2)由(1)知f(x)＝x3－3x.因为f(x)＋2＝(x－1)2(x＋2)，所以g′(x)＝0的根为x1＝x2＝1，x3＝－2，于是函数g(x)的极值点只可能是1或－2. 当x＜－2时，g′(x)＜0；当－2＜x＜1时，g′(x)＞0，故－2是g(x)的极值点． 当－2＜x＜1或x＞1时，g′(x)＞0，故1不是g(x)的极值点．所以g(x)的极值点为－2. (3)令f(x)＝t，则h(x)＝f(t)－c.先讨论关于x的方程f(x)＝d根的情况，d∈[－2,2]． 当|d|＝2时，由(2)可知，f(x)＝－2的两个不同的根为1和－2，注意到f(x)是奇函数，所以f(x)＝2的两个不同的根为－1和2. 当|d|＜2时，因为f(－1)－d＝f(2)－d＝2－d＞0，f(1)－d＝f(－2)－d＝－2－d＜0， 所以－2，－1,1,2都不是f(x)＝d的根．由(1)知f′(x)＝3(x＋1)(x－1)． ①当x∈(2，＋∞)时，f′(x)＞0，于是f(x)是单调增函数，从而f(x)＞f(2)＝2， 此时f(x)＝d无实根．同理，f(x)＝d在(－∞，－2)上无实根