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PAGE 第 PAGE 1 页 共 NUMPAGES 4 页 平行线的性质（基础）知识讲解 责编：赵炜 【学习目标】 1. 掌握平行线的性质公理、定理，并能依据平行线的性质公理、定理进行简单的推解； 2. 了解并掌握平行线的性质定理的探究过程； 3. 了解平行线的判定与性质的区别和联系. 【要点梳理】 要点一、平行线的公理、定理 公理：两条平行线被第三条直线所截，得到的同位角相等.（简记为：两直线平行，同位角相等）. 定理：两条平行线被第三条直线所截，得到的内错角相等（简记为：两直线平行，内错角相等）. 定理：两条平行线被第三条直线所截，得到的同旁内角互补(简记为：两直线平行，同旁内角互补). 【高清课堂：平行线的性质、平行线的性质和判定小结】 要点诠释：（1）“同位角相等、内错角相等”、“同旁内角互补”都是平行线的性质的一部分内容，切不可忽视前提 “两直线平行”． (2)从角的关系得到两直线平行，是平行线的判定；从平行线得到角相等或互补关系，是平行线的性质． 要点二、平行线的性质定理的探究过程 1.两条平行线被第三条直线所截，得到的内错角相等（简记为：两直线平行，内错角 相等）. 因为a∥b, 所以∠1=∠2（两直线平行，同位角相等）， 又∠3=∠1 (对顶角相等) 所以∠2=∠3. 2.两条平行线被第三条直线所截，得到的同旁内角互补(简记为：两直线平行，同旁 内角互补). 因为a∥b, 所以∠3=∠2（两直线平行，内错角相等）， 又∠3+∠1=180°（补角的定义）， 所以∠2+∠1=180°. 要点诠释：平行线性质定理的证明，要借助平行线线性质公理，因为公理是人们在生产和生活中总结出来的正确的结论，不需要证明，但是定理、性质或推论到的证明其正确性. 要点三、平行线的性质与判定 （1）平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系． （2）应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆． （3）平行线的判定与性质的联系与区别 区别：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行． 联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关． （4）辅助线规律，经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线，构造出三类角． 【典型例题】 类型一、平行线的性质公理、定理的应用 1．如图所示，如果AB∥DF，DE∥BC，且∠1＝65°．那么你能说出∠2、∠3、∠4的度数吗?为什么． 【思路点拨】本题已知条件中，包含了两个层次：第一层次是由DE∥BC，可得∠1＝∠4，∠1+∠2＝180°；第二层次是由DF∥AB，可得∠3＝∠2或∠3+∠4＝180°，从而解出∠2、 ∠3、∠4的度数． 【答案与解析】 解：∵ DE∥BC， ∴ ∠4＝∠1＝65°(两直线平行，内错角相等)． ∠2+∠1＝180°(两直线平行，同旁内角互补)． ∴ ∠2＝180°-∠1＝180°-65°＝115°． 又∵ DF∥AB(已知)， ∴ ∠3＝∠2(两直线平行，同位角相等)． ∴ ∠3＝115°(等量代换)． 【总结升华】平行线的性质：由两条直线平行的位置关系得到两个相关角的数量关系． 举一反三： 【变式】（2015?永州）如图，∠1=∠2，∠A=60°，则∠ADC=　　度． 【答案】解：∵∠1=∠2，∴AB∥CD， ∴∠A+∠ADC=180°， ∵∠A=60°， ∴∠ADC=120°．故答案为：120° 2. 如图，一条铁路修到一个村子边时，需拐弯绕道而过，如果第一次拐的角∠A是105度，第二次拐的角∠B是135度，第三次拐的角是∠C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，那么∠C应为多少度？ 【思路点拨】过点B作直线BE∥CD，用“两直线平行内错角相等”和“两直线平行同旁内角互补”解答． 【答案与解析】 解：过点B作直线BE∥CD． ∵CD∥AF，∴BE∥CD∥AF．∴∠A=∠ABE=105°．∴∠CBE=∠ABC-∠ABE=30°．又∵BF∥CD，∴∠CBE+∠C=180°．∴∠C=150°． 【总结升华】此题是一道生活实际问题，根据题目信息，转化为关于平行线性质的数学问题． 3. 已知，如图，AB∥CD，BE∥FD．求证：∠B+∠D=180° 【思路点拨】根据平行线的性质可得∠B=∠1，∠1+∠D=180°，等量代换即可证明∠B+∠D=180°． 【答案与解析】 证明：∵AB∥CD（已知），∴∠B=∠1（两直线平行，内错角相等）．∵BE∥FD（已知），∴∠1+∠D=180