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* 5-6 闭环频率特性 系统的开环频率特性对分析系统的稳定性和稳定程度（即相对稳定性）具有十分重要的意义。但稳定性是系统能否正常工作的一个基本条件，为了研究自动控制系统的其它性能指标，仅知道系统的开环频率特性是不够的。为此有必要进一步研究系统的闭环频率特性。一般情况下，求解系统的闭环频率特性十分复杂烦琐，在实际中通常都是采用图解法来求出系统的闭环频率特性。 一、 向量作图法 如图所示单位负反馈系统，其闭环传递函数 单位反馈系统 R(s) C(s) G(s) - * 用 代入上式，就可得到系统的闭环频率特性表示为 式中 是单位负反馈系统的开环频率特性。 设系统的开环频率特性如图所示。由图可见，当 时 由此得到 时系统的闭环频率特性为 向量作图法求闭环频率特性 上式表明，当 时，系统的闭环频率特性的幅值等于向量 与 的 幅值之比， 而闭环频率特性的相角等于向量 与 的相角差。这样，逐点测 出不同频率处对应向量的幅值和相角，便可绘制如图所示的闭环幅频特性A(ω)和闭环相频特性 。 系统的闭环幅频特性A(ω) 和闭环相频特性 应当指出，虽然向量作图法说明了开环频率特性 G(jω) 与闭环频率特性 之间的几何关系，但由于需要逐点测量和作图，十分不便，因而在实际应用中很少采用。 * 二、等M圆图 由向量作图法可看出，对于G平面上任一点A，总有一个闭环幅值 与之对应，如果令闭环幅值 为一常数M，那么它在G平面上是一个什么样的图形呢？ 设单位反馈系统的开环频率特性为 式中U、V分别是G（jω）的实部与虚部，它们都是角频率ω的实函数，由此得到系统的闭环频率特性为 令 即 * 由此得到 若M=1，则 ，这是在G平面上过点 且平行于虚轴的直线 方程，即 是 M=1在G平面上的等幅值轨迹。 若 ，则上式可写成 即 这是一个标准圆方程，圆心坐标为 ，半径是 。 当M1时，圆的半径 随M值的增加而减小，圆心位于负实轴上 点左侧且收敛于（-1，j0）点；当 M1时，圆的半径 随M值的增加而增大，圆心位于正实轴上且收敛于（0，j0）点。当 M=1时，它可看成 是 半径为无穷大且圆心位于实轴上无穷远的特殊圆。 * 由不同的 M值在G平面上构成的这簇圆叫做等M圆或等幅值轨迹。由 图可看出，等M圆在G平面上是以实轴为对称的，它们的圆心均在实轴 上。当M=1时，它是一条过 点且平行于虚 轴的直线（ 无穷大圆弧）； 当 M1时，等 M 圆簇均位于 直线U=- 的左侧，且圆心 由负实轴（-1，j0 ）点左侧 收敛于（-1，j0）点； 当 M1时，等M圆簇均位于直 线U=- 的右侧，且圆心由正 实轴收敛于（0，j0）点。 等M圆图 在工程实践中，应用等M圆求取闭环幅频特性时，需先在透明纸上绘制出标准等M圆簇，然后按相同的比例尺在白纸或坐标纸上绘制出给定的开环频率特性G（jω）的纸上重叠起来，并将它们的坐标重合，最后根据G（jω）曲线与等M圆簇的交点得到对应的M值和ω值，便可绘制出闭环幅频特性A（ω）（如图所示）。 利用等M圆图求取A(ω) 控制系统闭环幅频特性图 * 三、等N圆图 用等M圆图和开环频率特性可以求出系统的闭环幅频特性A(ω)。用类似的方法进一步研究系统的闭环相频特性 及其在G平面上的图形。单位反馈系统的开环频率特性可以表示为 则其闭环频率特性是 用θ表示闭环频率特性的相角，则有 即 * 化简后有 令 则有 整理后得到 这也是一个标准圆方程，圆心坐是 ，半径为