抛物线的焦点弦_经典性质及其证明过程.pdfVIP

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2020-02-03 发布于广西
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有关抛物线焦点弦问题的探讨过抛物线y2 2px (p0) 的焦点F 作一条直线L 和此抛物线相交于A (x , y ) 、B (x , y ) 两点 1 1 2 2 结论1：AB x  x  p 1 2 p p AB AF  BF (x  )  (x  ) x  x  p 1 2 1 2 2 2 2p 结论2：若直线L 的倾斜角为，则弦长 AB  sin 2   证: (1)若 时,直线L 的斜率不存在，此时AB 为抛物线的通径, AB 2p 结论得证 2  p p (2)若  时,设直线L 的方程为：y (x  ) tan  即x y cot   代入抛物线方程得 2 2 2 2 2 由韦达定理 2 y  2py cot   p 0 y y p , y  y 2p cot  1 2 1 2 2 2 2p 由弦长公式得 AB 1 cot  y  y 2p(1 cot ) 1 2 sin 2  结论3：过焦点的弦中通径长最小 2 2p sin   1  2p  的最小值为 ,即过焦点的弦长中通径长最短. 2 AB 2p sin  S2 oAB p3 结论4： (为定值) AB 8 1 1 1 S S  S OF  BF sin   OF  AF sin  OAB OBF 0AF 2 2 1   1 1 p 2p