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非平稳随机过程 非平稳随机过程的特征。 虚假相关、回归的蒙特卡罗模拟，统计量的极限分布。 非平稳随机过程的特征 单整的定义 单整的定义 随机游走过程 xt = xt-1 + ut 可写为 xt = (1+ L + (L) 2 + (L) 3 +…) ut 于是xt 是一个非平稳随机过程。 AR(1)过程 一阶自回归过程，xt = ? 1 xt-1 + ut，可写为 (1- ?1L) xt = ut 递归替代后，有 xt = (1+ ?1L + (?1 L) 2 + (?1 L) 3 +…) ut = ut + ?1ut-1 + ?1 2 ut-2+… +?1 t u0 + ?1 t+1 x-1 单积过程的统计特征 —以随机游走过程和平稳的AR(1)过程作比较 AR(1) 过程 随机游走过程和平稳的AR(1)过程的对比 图示T = 50、100、500、1000条件下随机游走过程对应的自相关函数图（rho1000=(1-(@trend(0)/1000))^.5） AR(1)过程自相关系数?1与方差的关系 虚假相关 ut ? IN(0, 1), ut ? I (0) vt ? IN(0, 1), vt ? I (0) 每次生成T=100的相互独立的{ut}和{vt}，并计算Ruv。重复1万次，从而得到Ruv的分布。 xt = xt-1 + ut , x0 = 0, xt ? I (1) yt = yt-1 + vt , y0 = 0, yt ? I (1) 利用{ut}和{vt}，每次生成T=100的{xt}和{yt}并计算Rxy。重复1万次，从而得到Rxy的分布。 pt = pt-1 + xt , p0 = 0, pt ? I (2) qt = qt-1 + yt , q0 = 0, qt ? I (2) 利用{xt}和{yt}，每次生成T=100的{pt}和{qt}并计算Rpq。重复1万次，从而得到Rpq的分布。 两个相互独立的I(0)变量{ut}和{vt}的相关系数Ruv的分布为正态（见图） 两个相互独立的I(1)变量的相关系数的分布 两个相互独立的I(2)变量的相关系数的分布 虚假回归 T统计量的分布 t( ) 的极限分布。 当T ? ?， 简单回归中?1 = 0的拒绝概率与变量单积阶数的关系 样本容量与虚假回归的关系（回归变量均为I(1)变量） 结论 由于虚假回归问题的存在，检验变量的平稳性是一个必须解决的问题。在回归模型中应避免直接使用不存在协积关系的非平稳变量。前文中介绍了用相关图判断时间序列的平稳性。这一章则给出序列平稳性的严格的统计检验方法，即单位根检验。 最常见的非平稳过程的种类 随机游走过程 随机趋势过程 趋势平稳过程 趋势非平稳过程 （1）随机游走过程 yt = yt-1 + ut , y0 = 0, ut ? IID(0, ? 2) 其均值为零，方差无限大，但不含有确定性时间趋势。 （2）随机趋势过程 yt = ? + yt-1 + ut , y0 = 0, ut ? IID(0, ? 2) 其中?称作位移项（漂移项）。由上式知，E(y1)= ?（过程初始值的期望）。将(4.2) 式作如下迭代变换， yt = ? + yt-1 + ut = ? + (? + yt-2 + ut-1) + ut = … = ? t +y0 + yt由确定性时间趋势项? t和y0 +组成。可以把y0 +看作随机的截距项。在不存在任何冲击ut的情况下，截距项为y0。而每个冲击ut都表现为截距的移动。每个冲击ut对截距项的影响都是持久的，导致序列的条件均值发生变化，所以称这样的过程为随机趋势过程（stochastic trend process），或有漂移项的非平稳过程（non-stationary process with drift），有漂移项的随机游走过程（random walk with drift）见下图，虽然总趋势不变，但随机游走过程围绕趋势项上下游动。由上式还可以看出，?是确定性时间趋势项的系数（原序列yt的增长速度）。?为正时，趋势向上；?为负时，趋势向下。 图——随机趋势过程 （3）趋势平稳过程 图——趋势平稳过程 （4）趋势非平稳过程 图——趋势非平稳过程 单位根检验 ——DF检验 情形1 在? = 1条件下 ，统计量的分布 T ( - 1)的分布 在? = 1条件下 ，统计量 服从的分布 表a 情形2 表b 的分布