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第二章 向量、矩阵与多维正态分布向量与矩阵的基础知识坐标系与多维数据的图示矩阵运算的几何解释随机向量及其数字特征多维正态分布及其标准化一、向量与矩阵的基础知识正交阵、对角阵矩阵的迹及其性质：矩阵的对角元素之和tr(A)=∑aii矩阵的秩特征根与特征向量若A为对称阵，则A的全部特征根为实数，故可按大小次序排成?1≥ ?2 ≥… ≥ ?p 。若A为对称阵， ?i，?j是它的两个不相同的特征根，则相应的特征向量li和lj互相正交，这时A可表示为(0,1)(1,0)二、坐标系与多维数据的图示说明：向量-列，向量、矩阵-粗，标量-普通坐标系（以二维为例）标准基向量向量坐标系中的点或方向线（矢量）a1,a2分别是a在两个坐标轴上的投影向量的几何解释向量的模（矢量的长度）三、矩阵运算的几何解释数量乘数量乘：标量c乘以向量x——尺度变换将x在原方向上扩大或缩小c倍三、矩阵运算的几何解释向量乘——投影：aw矩阵×向量——投影例：23个地区供电局的经营数据：利润和售电量。用一综合指标评估其运营绩效设： a1=(售电量s )23×1 , a2=(利润s )23×1a=(a1, a2)23×2,w1T=(0.766 , 0.643)课件例题数据/配电单位.sav运算结果例：新城分局售电量s=1.5，利润s=0.49，则z1=0.766×1.5+0.643×0.49=1.46w1矩阵乘：在多于一维上投影z1=aw1是a在w1方向投影，现在我们再找一个与w1垂直的方向w2，z2=aw2是a在w2方向上的投影.这样，a=(a1, a2) →z=(z1,z2)=aw 。 w=(w1,w2)为一正交阵。几何意义：坐标轴旋转前地区供电局例，设w2T=(- 0.643, 0.766 )，课件例题数据/配电单位2.sav计算结果w2w1w1w2z1a2a1z2四、随机向量及其数字特征均值向量自协方差矩阵若xi独立总方差随机向量的相关矩阵相关阵与协方差阵简单随机抽样样本均值向量样本协方差矩阵样本相关矩阵标准化随机向量为了克服变量量纲不同对统计分析结果带来的影响，往往采用标准化变量标准化随机向量有：即：标准化数据的协方差阵正好是原变量的相关阵五、多维正态分布
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