步步高高中数学 必修 3 第三章.docxVIP

PAGE PAGE 1 1　辨析频率与概率 概率与频率虽只有一字之差，但意义大不相同，同时二者之间又有一定的联系．下面和同学们一起认识一下这对“孪生兄弟”． 一、频率与概率的区别 频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，它的值等于随机事件发生的次数与试验总次数的比．频率是随机的，在试验前不能确定，做同样次数的重复试验得到的某事件发生的频率不一定相同．而概率是一个确定的值，是客观存在的，与每次试验无关，与试验次数也无关． 例1 连续抛掷一枚硬币10次，落地后正面向上出现了6次，设“抛一次硬币，正面向上”为事件A，则下列说法正确的有________． ①P(A)＝eq \f(3,5)； ②P(A)≈eq \f(3,5)； ③再连续抛掷该硬币10次，落地后出现正面的次数还是6； ④事件A发生的频率为eq \f(3,5)； ⑤无论哪一次抛，硬币落地后正面向上的概率相同． 解析　④⑤正确．在一次试验中，事件A发生的概率为eq \f(1,2)，再连续抛掷该硬币10次，落地后出现正面的次数不确定． 答案　④⑤ 点评　频率的随机性和概率的确定性是二者的本质区别． 二、频率与概率的联系 1．在大量重复进行同一试验时，频率总是在某个常数附近摆动．由于事件的随机性，有时候频率也可能出现偏离该“常数”较大的情形，但随着试验次数的增加，这种情形出现的可能性会减小．概率是频率的稳定值，可看作是频率在理论上的平均值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小． 2．在实际问题中，某些随机事件的概率往往难以确切的得到，因此我们常常通过大量的重复试验，用随机事件发生的频率来估计概率． 例2 一个不透明的袋中装有大小质地相同的红、白两种颜色的小球，某学习小组做摸球试验，每次从袋中摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀后再摸．试验的部分数据如下表： 摸球次数 30 60 90 120 150 180 210 270 300 摸到红球的次数 6 25 31 38 45 53 67 摸到红球的频率 0.300 0.247 (1)将表格补充完整(所求频率保留3位小数)； (2)估计从中随机摸一个球，求摸到红球的概率P(保留2位小数)． 解　(1)第二行依次填：18,74. 第三行依次填：0.200,0.278,0.258,0.253,0.250，0.252，0.248. (2)由(1)知，虽然抽取次数不同，所得频率值不同，但随试验次数的增加，频率在常数0.250附近摆动， 故P≈0.25. 点评　现实生活中很多事件的概率是难以确切得到的，鉴于随机事件的发生带有随机性的同时又存在一定的规律性，故一般通过大量的重复试验，用随机事件的频率来估计概率． 2　概率加法公式应用点拨 概率的加法公式是计算概率的一个最基本的公式，根据它可以计算一些复杂事件的概率．概率的加法公式可推广为：若事件A1，A2，…，An彼此互斥(两两互斥)，则P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)，即彼此互斥事件和的概率等于各个事件发生的概率之和．用此公式时，同学们首先要判断事件是否互斥，如果事件不互斥，就不能用此公式．下面举例说明概率加法公式的应用． 一、计算互斥事件和的概率 例1 由经验得知，某市某大型超市付款处排队等候付款的人数及其概率如下表： 排队人数 0 1 2 3 4 5人以上 概率 0.10 0.16 0.30 0.3 0.10 0.04 求：(1)至多2人排队的概率； (2)至少2人排队的概率． 解　(1)记“没有人排队”为事件A，“1人排队”为事件B，“2人排队”为事件C，则A，B，C彼此互斥．P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.10＋0.16＋0.30＝0.56. (2)记“至少2人排队”为事件D，“少于2人排队”为事件A∪B，那么事件D与事件A∪B是对立事件，则P(D)＝P(eq \x\to(A∪B))＝1－[P(A)＋P(B)]＝1－(0.10＋0.16)＝0.74. 点评　应用概率加法公式求概率的前提有两个：一是所求事件是几个事件的和，二是这几个事件彼此互斥．在应用概率加法公式前，一定要弄清各事件之间的关系，把一个事件分拆为几个彼此互斥的事件的和，再应用公式求解所求概率． 二、求解“至少”与“至多”型问题 例2 甲、乙、丙、丁四人同时参加一等级考试，已知恰有1人过关(事件A)的概率为0.198，恰有2人过关(事件B)的概率为0.38，恰有3人过关(事件C)的概率为0.302,4人都过关(事件D)的概率为0.084.求： (1)至少有2人过关的概率P1； (2)至多有3人过关的概率P2. 分析　“至少有2人过关”即事件B∪C∪D.“至多有3人过关”即事件A、B、C与事件“4人均未过关”的并事件，其对立事件为D.(注意“4人均未过关”这种可能情