初二数学.秋.直升班.教师版.第13讲 相似三角形（五）.docVIP

page 72 初二数学.秋 第13讲 目标名校直升班 教师版 初二数学.秋 第13讲 目标名校直升班 教师版 page 71 第十三讲 第十三讲 相似三角形（五） 模块一：角平分线定理 内角平分线定理： 如图，在中，AD是的角平分线，则有． 证明：过作交延长线于． ∵，∴， 又∵平分，∴， ∴，∴， 由可得：，∴ 外角平分线定理 如图，在中，的外角平分线交对边BC的延长线于D，则有． 证明：过作交于． ∵，∴， 又∵平分，∴， ∴，∴， 由可得：，∴ 模块二：线束模型 若，则有． 若，则有． 模块一 模块一 角平分线定理 （1）如图1-1，在中，，，，且CD是的平分线．则AD的长为__________． （2）如图1-2，I是内角平分线的交点，AI交对应边于D点，求证：． 图1-1 图1-2 （1）由角平分线定理得到， 由于，． （2）由角平分线定理得到， 由等比性质得到：． 【教师备课提示】这道题主要考查角平分线定理． （1）如图2-1，中，，于D，作，AE与BC延长线交于E，若，，则CD长为__________，AC长为__________，BE的长为__________． （2）如图2-2，中，，，，于E，AD平分交CE于点F．则的值为___________，AD长为__________． 图2-1 图2-2 （1）∵，， ∴， ∵，于， ∴，∵， ∴，∴． ∴，∴， 由射影定理，，∴，． （2），． 【教师备课提示】这道题主要考查特殊的3，4，5的直角三角形和角平分线的结论． 若，，AC与PB相交于点D，且，．求的值． 过P点做的角平分线PE，交AD于E点． ∵，且， ∴，∴， 又由于是角平分线，∴，∵，∴，∴， ∴． 【教师备课提示】这道题是角平分线定理和斜“8”综合考查，相对较综合． 模块二 模块二 线束模型 （1）如图4-1，AB∥CD，AD与BC交于点P，过P点的直线与AB、CD分别交于E，F．求证：． （2）如图4-2，AB∥CD，AD与BC交于点P，连接CA、DB并延长相交于O，连接OP并延长交CD于M，求证：点M为CD的中点． （3）如图4-3，在图4-2中，若点G从D点向左移动（不与C点重合），AG与BC交于点P，连OP并延长交CD于M，直接写出MC、MG、MD之间的关系式． 图4-1 图4-2 图4-3 （1）证明：如图1，∵AB//CD，AD与BC交于点P， ∴，， ∴,，∴，∴； （2）证明：如图2，设OM交AB于点N． ∵AB//CD，∴，，， ∴，，，∴①， ∵，，， ∴，，，∴②， ①÷②，，∴CM=DM，即点M为CD的中点； （3）解：MC2=MG?MD，理由如下：如图3，设OM交AB于点N． ∵AB//CD，∴，，∴①，②， ①×②，得，∴． ∵，，∴，， ∴，∴，∴，∴． 【教师备课提示】这道题主要考查线束模型的证明和直接应用． 如图，M、N为边BC上的两点，且满足，一条平行于AC的直线分别交AB、AM和AN的延长线于点D、E和F．求证：． 法一：如下左图，过D作交AC于G，交AM、AN于P、Q， 由线束定理可知， ∵， ∴，， ∴，∴． 过E点或F点作BC的平行线也可得到类似的证法． 法二：如下右图，过M作，交AB于P，交AF延长线于Q， 则有， ∴，， ∴，由线束定理可知，即． 过B点或N点作DF的平行线也可得到类似的证法． 【教师备课提示】这道题主要考查线束模型的应用，怎么利用比例． 模块三 相似综合 模块三 相似综合 如图，点A的坐标为，点C是线段OA上的一个动点（不与O、A两点重合），过点C作轴，垂足为D，以CD为边在右侧作正方形CDEF．连接AF并延长交x轴的正半轴于点B，连接OF．若以B、E、F为顶点的三角形与相似，则点B的坐标是　　　　　． 要使与相似， ∵ ∴只要或， 即或． ①当时，，∴，∴（舍去）或，∴． ②当时，（i）当B在E的左侧时，， ∴，∴（舍去）或，∴． （ii）当在的右侧时，， ∴，∴（舍去）或，∴． 【教师备课提示】这道题主要考查内接矩形的问题和相似三角形定义综合，相对较难． 如图，中，，于D，过点D作，边DE上的中线BF延长线交AC于点G． （1）求证：； （2）若，求； （3）在（2）的条件下，若，求BD的长度． （1）证明：∵，∴是直角三角形．