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小波变换及其在 图像处理中的典型应用 赵丹培 宇航学院图像处理中心 2008年4月 目 录 一、从傅里叶变换到小波变换的时频分析法 三、尺度函数与小波 四、离散小波变换与二进小波变换 五、小波变换的实现 六、图像的多分辨分解与重建 七、小波变换在图像边缘检测中的应用 八、小波变换在图像去噪中的应用 九、小波变换在图像融合中的应用 傅里叶变换 傅里叶变换：对于时域的常量函数，在频域将表现为冲击函数，表明具有很好的频域局部化性质。 傅里叶变换 短时傅里叶变换 傅立叶变换无法作局部分析，为此，人们提出了短时傅里叶变换（STFT）的概念，即窗口傅里叶变换。 基本思想是：把信号划分成许多小的时间间隔，用傅立叶变换分析每一个时间间隔，以便确定该时间间隔存在的频率。 STFT的处理方法是对信号施加一个滑动窗(反映滑动窗的位置)后，再作傅立叶变换。即： 短时傅里叶变换 短时傅里叶变换 图1 短时傅里叶变换的分析特点 (a)频率变化的影响 (b) 基本分析单元的特点 连续小波变换的定义 用镜头观察目标 (待分析信号)。 代表镜头所起的作用(如滤波或卷积)。 相当于使镜头相对于目标平行移动。 的作用相当于镜头向目标推进或远离。 连续小波变换的定义 尺度因子 的作用是将基本小波 做伸缩， 越大 越宽。 连续小波变换的定义 连续小波变换的定义 称 为一个“基小波”或“母小波”。 小波变换的含义是： 把基本小波(母小波)的函数 作位移后，再在不同尺度下与待 分析信号作内积，就可以得到一个小波序列。 连续情况时，小波序列为： (基本小波的位移与尺度伸缩) 其中 为尺度参量， 为平移参量。 离散的情况，小波序列为 ： 衰减条件要求小波具有局部性，这种局部性称为“小”，所以称 为小波。 对于任意的函数 的连续小波变换定义为： 逆变换为： 是尺度因子， 反映位移。 连续小波的性质： 线性 设： 平移不变性 若 ，则 伸缩共变性 如果 的CWT是 则 的CWT是 冗余性(自相似性) 由连续小波变换恢复原信号的重构公式不是唯一的 小波变换的多分辨分析特性 多分辨分析是小波分析中最重要的概念之一，它将一个函数表示为一个低频成分与不同分辨率下的高频成分，并且多分辨分析能提供一种构造小波的统一框架，提供函数分解与重构的快速算法。 是一个无限维向量空间，称为平方可积空间，将 用它的子空间 ， 表示，其中 称为尺度空间， 称为小波空间。 尺度空间的递归嵌套关系： 小波空间 是 和 之间的差，即 ，它捕捉由 逼近 时丢失的信息。推出： 两尺度方程 若 是尺度函数，它生成 的多分辨分析 ，则必然存在系数序列 ，使得以下尺度关系成立: 这就是两尺度方程，必须满足下列条件： 定义函数 为尺度函数，若其经过整数平移 和 尺度 上的伸缩，得到一个尺度和位移均可变化的函数集 合： 和 的基本性质是二尺度差分方程： 二尺度方程的频域表示为 离散小波变换 如果设定 ，则 对于任意函数 ，定义相应的离散小波变换为： 如果这时 构成空间 的一组规范正交基，对于任一的函数 的反演式为一展开式： 二进小波及二进小波变换 在连续小波变换中，令参数 而参数 仍取连续值，则有二进小波： 这时， 的二进小波变换定义为 Mallat算法与塔式分解 系数分解的快速算法： 系数重构的快速算法： 二维图像的小波变换实现 假定二维尺度函数可分离，则有 其中 、 是两个一维尺度函数。若 是相应的小波，那么下列三个二维基本小波： 与 一起就建立了二维小波变换的基础。 图像的小波变换实现 正变换 图像小波分解的正变换可以依据二维小波变换按如下方式扩展，在变换的每一层次，图像都被分解为4个四分之一大小的图像。 图像的小波变换实现 在每一层，四个图像中的每一个都是由